CO.DE Academy — Aprende tecnología con práctica real

Una sola ley para todo el segmento espacial

Cuando en el curso Redes Satelitales aparece la ecuación vis-viva para justificar por qué un satélite LEO cruza el cielo en diez minutos, o cuando en Sistemas APT un propagador SGP4 convierte dos líneas de texto en una posición sobre el mapa, se está usando —sin decirlo— el mismo resultado: la ley de gravitación universal de Newton aplicada a dos masas puntuales. Este curso existe para que dejes de aceptar esas fórmulas por decreto y empieces a derivarlas, dimensionarlas y criticarlas.

La ley es de una economía asombrosa. Dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$ separados una distancia $r$ se atraen con una fuerza dirigida a lo largo de la recta que los une, de magnitud:

$F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}, \qquad G = 6.67430 \times 10^{-20}\ \mathrm{km^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$

Escribimos $G$ en kilómetros cúbicos porque en mecánica orbital el kilómetro es la unidad natural: los radios son de miles, no de millones. Toda la asignatura consiste, literalmente, en extraer consecuencias de esa expresión.

El problema de los dos cuerpos y su reducción

Si $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$ son las posiciones de ambos cuerpos respecto de un origen inercial, la segunda ley de Newton da dos ecuaciones acopladas. Restándolas y definiendo el vector de posición relativa $\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ se obtiene una única ecuación diferencial vectorial:

$\ddot{\vec{r}} = -\,\frac{G(m_1 + m_2)}{r^3}\,\vec{r}$

Este paso es más profundo de lo que parece: el problema de dos cuerpos con seis grados de libertad se ha convertido en el problema de un cuerpo moviéndose alrededor de un centro de fuerzas fijo. Y como en casi todos los casos de interés $m_{\text{satélite}} \lll M_{\oplus}$ —una nave de 5 toneladas frente a las $5.97 \times 10^{24}$ kg de la Tierra—, la suma $m_1 + m_2$ se confunde con $M_{\oplus}$ dentro del error de medida. Definimos entonces el parámetro gravitacional estándar:

$\mu = G M_{\oplus} = 398\,600.4418\ \mathrm{km^3/s^2}$

y la ecuación del movimiento queda en su forma canónica, la que verás en todo texto de astrodinámica:

$\ddot{\vec{r}} + \frac{\mu}{r^3}\,\vec{r} = \vec{0}$

Por qué se tabula μ y no G ni M

Merece la pena entender un detalle de metrología que confunde a mucha gente. $G$ se conoce con una incertidumbre relativa de unas $2 \times 10^{-5}$ : es la constante fundamental peor medida de la física. La masa de la Tierra se conoce todavía peor, porque solo se mide a través de $G$ . Sin embargo, el producto $\mu = GM_{\oplus}$ se determina por seguimiento láser y radiométrico de satélites con una incertidumbre relativa de $10^{-9}$ . Por eso las efemérides nunca usan $G$ y $M$ por separado: usan $\mu$ , que es la cantidad que la naturaleza le impone realmente a una órbita.

Cuerpo	$\mu$ (km³/s²)	Radio ecuatorial (km)
Tierra	398 600.4418	6 378.137
Luna	4 902.800	1 738.1
Marte	42 828.37	3 396.2
Júpiter	1.266 865 × 10⁸	71 492
Sol	1.327 124 4 × 10¹¹	695 700

Por qué todas las órbitas son planas

Define el momento angular específico (momento angular por unidad de masa) como $\vec{h} = \vec{r} \times \vec{v}$ . Derivando respecto al tiempo:

$\frac{d\vec{h}}{dt} = \dot{\vec{r}} \times \vec{v} + \vec{r} \times \dot{\vec{v}} = \vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \left(-\frac{\mu}{r^3}\vec{r}\right) = \vec{0}$

Ambos términos se anulan por ser productos vectoriales de vectores paralelos. Conclusión: $\vec{h}$ es constante en módulo y dirección. Y si $\vec{h}$ no cambia de dirección, entonces $\vec{r}$ y $\vec{v}$ están siempre en el plano perpendicular a $\vec{h}$ que pasa por el foco.

Ese resultado de tres líneas tiene una consecuencia práctica enorme, y es la razón de que la mecánica orbital sea manejable: una órbita kepleriana no se sale de su plano. El plano queda congelado en el instante del lanzamiento, determinado por la latitud del sitio y el azimut de tiro. Cambiarlo después cuesta un $\Delta V$ brutal —lo cuantificaremos en la lección 6—, y por eso una constelación se despliega en unos pocos planos y no en cualquiera. Cuando en la lección 5 introduzcamos el achatamiento terrestre, lo primero que perderemos es justamente esta propiedad: el plano dejará de estar congelado y empezará a girar lentamente.

Energía específica: el número que clasifica la órbita

La segunda cantidad conservada es la energía mecánica específica, suma de cinética y potencial por unidad de masa:

$\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}$

El convenio de signos es el habitual en gravitación: el potencial vale cero en el infinito y es negativo a distancia finita. De ahí que el signo de $\varepsilon$ sea exactamente la frontera entre estar ligado y no estarlo:

Signo de $\varepsilon$	Excentricidad	Cónica	Semieje mayor	Significado físico
$\varepsilon < 0$	$e = 0$	Circunferencia	$a = r$	Ligada, radio constante
$\varepsilon < 0$	$0 < e < 1$	Elipse	$a > 0$ finito	Ligada, periódica
$\varepsilon = 0$	$e = 1$	Parábola	$a \to \infty$	Escape marginal, $v \to 0$ en el infinito
$\varepsilon > 0$	$e > 1$	Hipérbola	$a < 0$	Escape con velocidad residual

Y el resultado que amarra todo, obtenido al evaluar $\varepsilon$ en el periapsis y usar la ecuación de la cónica, es que la energía depende solo del semieje mayor:

$\varepsilon = -\frac{\mu}{2a}$

Léelo despacio, porque es contraintuitivo y decisivo: dos satélites con el mismo $a$ tienen la misma energía aunque uno describa una circunferencia y el otro una elipse muy alargada que roza la atmósfera. La excentricidad no cuesta energía; cuesta momento angular, que es la otra constante: $h = \sqrt{\mu a (1 - e^2)}$ .

La ecuación vis-viva

Igualando las dos expresiones de la energía específica, $v^2/2 - \mu/r = -\mu/2a$ , y despejando la velocidad, se obtiene la herramienta más usada de todo el curso, la ecuación vis-viva (del latín vis viva, fuerza viva, el nombre que Leibniz daba a la energía cinética):

$v^2 = \mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$

Su valor operativo es que relaciona tres cantidades —velocidad, distancia actual y tamaño de la órbita— sin mencionar el tiempo ni el ángulo. Conocidas dos, la tercera sale de inmediato.

Ejemplo resuelto 1: órbita circular a 500 km

En una circunferencia $r = a$ , así que vis-viva se reduce a $v = \sqrt{\mu / r}$ . Con $r = 6\,378.137 + 500 = 6\,878.137$ km:

$v = \sqrt{\frac{398\,600.4418}{6\,878.137}} = \sqrt{57.952} = 7.613\ \mathrm{km/s}$

Unos 7.61 km/s, es decir 27 400 km/h. Comprueba de paso la energía y el momento angular de esa órbita:

$\varepsilon = -\frac{398\,600.4418}{2 \times 6\,878.137} = -28.98\ \mathrm{km^2/s^2}, \qquad h = r\,v = 6\,878.137 \times 7.613 = 52\,362\ \mathrm{km^2/s}$

Guarda el orden de magnitud: cualquier satélite LEO se mueve entre 7.4 y 7.8 km/s. Es el número que explica por qué un pase dura minutos y no horas, y por qué el sistema de seguimiento de una estación terrena tiene que mover el rotor a varios grados por segundo cerca del cénit —algo que verás con detalle en Estaciones Terrenas y SDR.

Ejemplo resuelto 2: la velocidad de escape

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir $\varepsilon = 0$ . Imponiendo $v^2/2 = \mu/r$ :

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2\mu}{r}} = \sqrt{2}\;v_{\text{circ}}$

A la misma altura de 500 km: $v_{\text{esc}} = 1.41421 \times 7.613 = 10.77$ km/s. La regla escapar cuesta $\sqrt{2}$ veces la velocidad circular vale a cualquier distancia de cualquier cuerpo, y es una de las pocas relaciones de mecánica orbital que conviene memorizar. En incremento de velocidad son $10.77 - 7.61 = 3.16$ km/s adicionales: mucho, pero apenas un 41 % más que lo ya invertido en llegar a la órbita.

Ejemplo resuelto 3: una órbita de transferencia

Aquí la vis-viva enseña los dientes. Una elipse de transferencia con perigeo en $r_p = 6\,878.137$ km (500 km de altura) y apogeo en $r_a = 42\,164$ km (altura geoestacionaria) tiene semieje mayor:

$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{6\,878.137 + 42\,164}{2} = 24\,521.07\ \mathrm{km}$

Velocidad en el perigeo:

$v_p = \sqrt{398\,600.4418\left(\frac{2}{6\,878.137} - \frac{1}{24\,521.07}\right)} = \sqrt{398\,600.4418 \times 2.4999 \times 10^{-4}} = 9.982\ \mathrm{km/s}$

Velocidad en el apogeo:

$v_a = \sqrt{398\,600.4418\left(\frac{2}{42\,164} - \frac{1}{24\,521.07}\right)} = \sqrt{2.6517} = 1.628\ \mathrm{km/s}$

Tres lecturas. Primera: el satélite va seis veces más rápido en el perigeo que en el apogeo, y el cociente $v_p/v_a = 9.982/1.628 = 6.13$ coincide con $r_a/r_p = 42\,164/6\,878.137 = 6.13$ —no es casualidad, es conservación del momento angular, y lo formalizaremos en la lección 2 como segunda ley de Kepler. Segunda: en el apogeo el satélite se mueve a 1.63 km/s pero una órbita circular allí exige $\sqrt{398\,600.4418/42\,164} = 3.075$ km/s, de modo que faltan 1.45 km/s para circularizar; ese es el famoso incremento de apogeo que estudiaremos en la lección 6. Tercera: pasar de 7.61 a 9.98 km/s en el perigeo cuesta solo 2.37 km/s y multiplica el apogeo por seis. La eficiencia de las maniobras en el perigeo es la razón de la arquitectura de casi todos los lanzamientos a GEO.

Lo que este modelo deja fuera

Todo lo anterior descansa en cuatro idealizaciones que conviene declarar ahora, porque las lecciones siguientes las irán levantando una a una: los cuerpos son masas puntuales (falso: la Tierra está achatada, y de ahí sale $J_2$ en la lección 5); solo hay dos cuerpos (falso: la Luna y el Sol perturban, sobre todo en órbitas altas); no hay fuerzas no gravitatorias (falso: hay arrastre atmosférico en LEO y presión de radiación solar en GEO); y las masas son constantes (falso mientras un motor está encendido).

Aun así, el modelo de dos cuerpos no es un juguete: predice la posición de un satélite LEO con error de kilómetros en pocas horas, y es la base sobre la que los propagadores reales —incluido el SGP4 que decodificarás en la lección 7 y usarás en Sistemas APT— añaden correcciones. Primero se domina el caso puro; después se le suman las perturbaciones.

La jerarquía completa de trayectorias posibles bajo esta única ley se resume así:

Fija el vocabulario antes de seguir:

1 de 6

Comprueba la consecuencia menos intuitiva de la lección:

Dos satélites tienen el mismo semieje mayor $a$ : uno describe una circunferencia y el otro una elipse de $e = 0.6$ . ¿Qué se puede afirmar?

En la lección 2 dejamos la dinámica y pasamos a la geometría: qué forma exacta tiene esa elipse, cómo se recorre y por qué el periodo depende únicamente de $a$ .

El problema de los dos cuerpos: la física que gobierna toda órbita

Crea una cuenta gratis para continuar