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Hasta aquí las órbitas se han comportado como objetos dados: una elipse kepleriana que las perturbaciones deforman lentamente. En esta lección el satélite deja de ser un pasajero y se convierte en actor. Cada vez que enciende un motor cambia de órbita, y cada cambio de órbita se paga en la única moneda que una misión no puede fabricar en vuelo: el incremento de velocidad, Δv.
Conviene entender bien por qué Δv y no "combustible". El propelente que consume una maniobra depende del motor, de la masa del vehículo y del momento en que se ejecute; el Δv que requiere la maniobra depende solo de la geometría del problema — de dónde estás y a dónde quieres ir. Es una propiedad de la mecánica celeste, no de la ingeniería de propulsión. Por eso el presupuesto de una misión se escribe siempre en metros por segundo: es la parte que ningún avance tecnológico va a rebajar. La tecnología cambia cuánta masa cuesta cada metro por segundo, no cuántos metros por segundo hacen falta.
Y es un presupuesto duro. Un satélite geoestacionario que agota su propelente no se avería: simplemente deja de poder corregir su deriva, sale de su ranura orbital y termina su vida útil aunque su electrónica funcione perfectamente. Muchas misiones GEO mueren con todos sus subsistemas sanos y el tanque vacío.
La aproximación impulsiva
Un motor químico de apogeo empuja durante unos minutos; la órbita a la que se aplica tiene un periodo de horas. Cuando la duración del quemado es pequeña frente al periodo orbital, se puede modelar la maniobra como un impulso: un cambio instantáneo del vector velocidad en un punto, sin cambio de posición. La órbita antes y después comparte ese punto, y el problema se reduce a álgebra vectorial sobre las velocidades.
La aproximación es excelente para propulsión química y pésima para propulsión eléctrica, donde un empuje de milinewtons se aplica durante semanas y la trayectoria es una espiral continua, no dos cónicas empalmadas. Todo lo que sigue asume el régimen impulsivo; la propulsión eléctrica exige integración numérica y suele costar algo más de Δv total a cambio de muchísima menos masa de propelente, como veremos al final con Tsiolkovsky.
De la aproximación impulsiva se derivan tres reglas prácticas que valen para casi todo diseño de maniobras:
Un impulso tangencial cambia la energía (y por tanto el semieje mayor y el periodo) con la máxima eficiencia posible, porque toda la potencia va en la dirección del movimiento.
Un impulso normal al plano cambia la orientación del plano orbital sin cambiar la energía — y es carísimo, porque hay que girar todo el vector velocidad.
El punto donde se aplica importa tanto como la magnitud. El mismo impulso produce efectos distintos en perigeo y en apogeo.
La transferencia de Hohmann
Walter Hohmann publicó en 1925 la solución que sigue siendo la referencia: para pasar entre dos órbitas circulares coplanares, la transferencia de dos impulsos de mínimo Δv es una elipse tangente a ambas. El primer impulso, en la órbita baja, eleva el apogeo hasta la órbita alta; el segundo, medio periodo después, circulariza en el apogeo. Nada más, y nada menos: cualquier transferencia de dos impulsos con menor Δv entre órbitas circulares coplanares no existe (mientras la razón de radios sea menor que 11.94; por encima, la transferencia bielíptica gana, y ese es un caso de nicho).
Las tres velocidades que hacen falta salen todas de la ecuación vis-viva de la lección 2:
v=μ(r2−a1)
con μ=398600.4418 km³/s² para la Tierra. El semieje mayor de la elipse de transferencia es simplemente el promedio de los radios:
at=2r1+r2
Ejemplo resuelto: LEO 400 km → GEO, completo
Es la maniobra más ejecutada de la historia de la astronáutica comercial. Partimos de una órbita circular a 400 km de altitud y terminamos en la geoestacionaria.
Paso 0 — radios. Con RT=6378.137 km:
r1=6378.137+400=6778.14 km,r2=42164.14 km
Paso 1 — velocidades circulares.
v1=6778.14398600.44=58.807=7.669 km/s
v2=42164.14398600.44=9.453=3.075 km/s
Paso 2 — la elipse de transferencia.
at=26778.14+42164.14=24471.14 km
Su velocidad en perigeo (donde toca la LEO) y en apogeo (donde toca la GEO):
Paso 4 — el tiempo de vuelo, que es medio periodo de la elipse de transferencia:
tt=πμat3=π398600.4424471.143=π×6063 s=19048 s=5.29 h
Fíjate en el detalle más ilustrativo: en apogeo el satélite va a 1.618 km/s, más lento que un avión de pasajeros multiplicado por cinco pero infinitamente más lento que en perigeo, donde iba a 10.066 km/s. La segunda ley de Kepler en acción: la elipse de transferencia recorre el apogeo con una parsimonia que es, precisamente, lo que hace barato maniobrar allí. Recuerda esta observación treinta líneas más abajo.
La cifra de manual que se cita para LEO→GEO, ≈3.9 km/s, corresponde a una órbita de aparcamiento más baja (200–300 km): cuanto más baja la LEO de partida, mayor Δv1 y mayor total, porque hay que subir desde más abajo. La diferencia entre los 3.85 km/s calculados aquí y los 3.93 km/s desde 200 km es real y se paga en propelente.
El cambio de plano: la maniobra más cara del catálogo
Cambiar la inclinación o el nodo de una órbita no altera su energía — el satélite sigue igual de lejos y va igual de rápido — pero exige girar el vector velocidad completo. Para un giro puro de ángulo Δi en órbita circular:
Δv=2vsin(2Δi)
Es un triángulo isósceles de lados v con ángulo Δi entre ellos: la base es el Δv necesario. La fórmula tiene una consecuencia brutal: el coste es proporcional a la velocidad orbital. Y de ahí la regla de oro del diseño de maniobras: si tienes que cambiar de plano, hazlo donde vayas despacio.
Ejemplo resuelto: los 28.5° de Cabo Cañaveral
Un lanzamiento desde Cabo Cañaveral con azimut este entrega una órbita de inclinación i=28.5°. La GEO exige i=0. Tres formas de eliminar esos 28.5 grados:
Opción A — girar en LEO, donde v=7.669 km/s:
ΔvA=2×7.669×sin(14.25°)=2×7.669×0.2462=3.78 km/s
Casi tanto como la transferencia completa a GEO. Inaceptable.
Opción B — girar ya en GEO, donde v=3.075 km/s:
ΔvB=2×3.075×sin(14.25°)=1.51 km/s
Menos de la mitad. Pero todavía hay una opción mejor.
Opción C — combinar el giro con la circularización en apogeo. En lugar de dos impulsos consecutivos (uno para circularizar, otro para girar), se aplica uno solo cuyo vector cierra el triángulo entre va (velocidad de apogeo de la transferencia, 1.618 km/s, inclinada 28.5°) y v2 (velocidad geoestacionaria, 3.075 km/s, ecuatorial). Ley de los cosenos:
Compara: la opción combinada cuesta 1.82 km/s y hace las dos cosas, mientras que hacerlas por separado cuesta 1.46+1.51=2.97 km/s. El ahorro es de 1.15 km/s, más del 38 %. En una plataforma GEO de tres toneladas eso son cientos de kilogramos de propelente que se convierten en carga útil o en años de vida.
Aquí es donde vuelve la observación del apogeo lento: la maniobra se hace allí no por comodidad operativa, sino porque Δv escala con v y el apogeo es el punto más barato de toda la trayectoria para reorientar el plano. Es también la razón geofísica por la que Kourou (latitud 5.2° N) vale más que Cabo Cañaveral (28.5° N) para misiones GEO: cada grado de latitud del sitio de lanzamiento es un grado de inclinación que alguien tiene que pagar.
Presupuesto de ΔV de una misión GEO
Fase
Δv (km/s)
Nota
Ascenso del lanzador a LEO 400 km
9.3 – 9.7
Incluye pérdidas por gravedad y arrastre
LEO → GTO (impulso en perigeo)
2.40
Quemado 1 de Hohmann
GTO → GEO con giro de 28.5° (apogeo)
1.82
Quemado 2 combinado
Station-keeping, 15 años
0.75
50 m/s por año
Retiro a órbita cementerio
0.011
+300 km sobre GEO
Total a bordo del satélite
4.98
Todo lo que debe caber en los tanques
La última fila es la que se negocia en las reuniones de diseño. Los 9.3–9.7 km/s del ascenso los pone el lanzador; los 4.98 km/s restantes los pone el satélite, y determinan directamente cuánta masa puede dedicar a antenas, paneles y transpondedores.
Fasing y rendezvous: alcanzar sin perseguir
Dos vehículos en la misma órbita pero separados por un ángulo de fase no pueden acercarse acelerando el uno hacia el otro: eso solo cambiaría su órbita. La maniobra correcta es contraintuitiva y merece grabarse a fuego: para alcanzar a alguien que va delante, hay que frenar. Frenar baja el semieje mayor, un semieje menor significa un periodo menor (tercera ley de Kepler) y un periodo menor significa mayor velocidad angular. El perseguidor da vueltas más rápido, gana fase en cada revolución y luego vuelve a subir para reencontrarse.
Ejemplo resuelto: recuperar 30° de fase en 8 revoluciones
Un vehículo de carga está 30° por detrás de una estación en órbita circular de a=6794.9 km (T=92.903 min). Debe cerrar la fase en k=8 revoluciones. En ese tiempo el perseguidor debe completar 8+36030=8.0833 revoluciones mientras la estación completa 8, luego:
T′=8.08338T=8.08338×92.903=91.946 min
De ahí, invirtiendo la tercera ley de Kepler:
a′=(μ(2πT′)2)1/3=6748.1 km
La órbita de fasing es una elipse con apogeo en el punto de la maniobra (6794.9 km) y perigeo en 2a′−r=6701.3 km, es decir unos 94 km más baja por el otro lado. El impulso de frenado vale:
Δv=vcirc−vapogeo′=7.659−7.633=0.0265 km/s=26.5 m/s
Y hay que pagarlo dos veces: una para bajar y otra, ocho revoluciones más tarde, para volver a circularizar junto a la estación. Total ≈53 m/s por 30° de fase, en 8×91.946=735.6 min =12.3 h. Ese es el orden de magnitud real de un rendezvous: horas o días de espera paciente, decenas de metros por segundo. La aproximación final —los últimos cientos de metros, con dinámica de Clohessy-Wiltshire y navegación relativa— es otro problema y otro curso.
De ΔV a propelente: Tsiolkovsky
La conversión de presupuesto orbital a masa la da la ecuación del cohete de Tsiolkovsky (1903):
Δv=Ispg0ln(mfm0)⟹m0mprop=1−e−Δv/(Ispg0)
con g0=9.80665 m/s² e Isp el impulso específico del motor en segundos. Lo esencial es el exponencial: el propelente no crece proporcionalmente al Δv, crece de forma que duplicar el presupuesto multiplica la fracción de masa mucho más que por dos.
Ejemplo resuelto: 15 años en GEO, químico frente a eléctrico
Los 750 m/s de station-keeping de la tabla anterior, en una plataforma de m0=3000 kg:
Sistema
Isp (s)
mprop/m0
Propelente
Bipropelente químico
300
1−e−0.2549=0.225
675 kg
Propulsor de Hall (eléctrico)
1 600
1−e−0.0478=0.047
140 kg
Quinientos treinta y cinco kilogramos de diferencia, en un satélite de tres toneladas: casi el 18 % de la masa total liberada para carga útil. Esa cuenta, y no la moda, es la razón por la que las plataformas GEO totalmente eléctricas se impusieron a partir de la década de 2010, aceptando a cambio meses de transferencia orbital en espiral en lugar de las 5.3 horas de un Hohmann químico.
Station-keeping: pagar por quedarse quieto
Un satélite geoestacionario no está en equilibrio. Tres perturbaciones lo empujan continuamente fuera de su ranura:
Norte-Sur (inclinación): el par luni-solar inclina el plano orbital unos 0.75–0.95° por año. Corregirlo es un cambio de plano, con la fórmula cara de más arriba, y cuesta 45–50 m/s por año. Es el 90 % del presupuesto.
Este-Oeste (longitud): la Tierra no es un elipsoide perfecto y el término J22 del geopotencial crea dos puntos de equilibrio estable (a 75.3° E y 104.7° O) hacia los que todo satélite deriva. Corregirlo cuesta 2–4 m/s por año según la longitud asignada.
Presión de radiación solar: excita la excentricidad; se corrige junto con lo anterior.
Total: unos 50 m/s por año, la cifra que hay que memorizar. Quince años de vida son 750 m/s, y esa es la fila que domina el presupuesto de la tabla después de la transferencia. Cuando quedan tanques para menos de un año, el operador ejecuta el retiro a la órbita cementerio mientras todavía puede: los 11 m/s que cuesta subir 300 km sobre la GEO son el último gasto planificado de la misión.
Laboratorio
El laboratorio de esta lección es un diseñador de maniobras. Fijas el radio de la órbita inicial y el de la final, y el simulador dibuja las dos circunferencias y la elipse de transferencia tangente a ambas, con los dos impulsos marcados sobre sus puntos de aplicación y las velocidades instantáneas anotadas. Un panel lateral lleva la cuenta de Δv1, Δv2, el total y el tiempo de vuelo, recalculados con la ecuación vis-viva a cada cambio de parámetro.
Lo primero que conviene observar es la forma de la elipse de transferencia según la razón r2/r1: para transferencias cortas (LEO a LEO) es casi una circunferencia y los dos impulsos son pequeños y parecidos; para LEO→GEO es una elipse muy excéntrica y Δv1 domina claramente sobre Δv2. Lo segundo, la relación entre coste y tiempo: el tiempo de vuelo crece como at3/2, así que llegar más lejos no solo cuesta más — cuesta más y tarda desproporcionadamente más.
Activa después el control de cambio de plano y compara las tres estrategias del ejemplo resuelto sobre la misma transferencia. Verás que la curva de Δv combinado frente al ángulo repartido entre los dos impulsos tiene un mínimo que no está en repartir mitad y mitad: casi todo el giro conviene hacerlo en el impulso de apogeo, y solo una fracción pequeña en el de perigeo.
Tres retos concretos:
Reproduce el ejemplo resuelto. Configura r1=6778 km y r2=42164 km y verifica que obtienes 2.40, 1.46, 3.85 km/s y 5.29 h. Después baja la LEO a 200 km y comprueba que el total sube a 3.93 km/s: cuantifica cuánto cuesta cada 100 km de órbita de aparcamiento.
Encuentra el reparto óptimo del cambio de plano. Con Δi=28.5° repartido entre los dos impulsos, busca por tanteo el porcentaje que minimiza el Δv total y compáralo con el 1.82 km/s de hacerlo todo en apogeo. ¿Cuánto se gana realmente, y compensa la complejidad operativa?
Diseña un traslado de constelación. Un satélite debe pasar de 700 km a 1200 km de altitud manteniendo la inclinación. Calcula el Δv total y el tiempo de vuelo, y decide si el resultado cabe en un presupuesto de 300 m/s. Si no cabe, ¿qué altitud final es la máxima alcanzable?
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Comprueba el punto que más errores de diseño provoca:
Un satélite en GTO debe circularizar en GEO y además corregir 28.5° de inclinación. ¿Dónde y cómo conviene hacerlo?
Ya sabes calcular a dónde puede ir un satélite y qué cuesta llevarlo. En la siguiente lección damos la vuelta al problema: dado un satélite que ya está allí arriba, ¿cómo se distribuye su órbita al mundo? La respuesta es un formato de texto de dos líneas que lleva sesenta años sin cambiar.
Laboratorio: Transferencia de Hohmann · Diseñador de maniobras
8. Del TLE al pase: la geometría de la visibilidad