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Johannes Kepler publicó sus dos primeras leyes en 1609 y la tercera en 1619, casi setenta años antes de que Newton escribiera la ley de gravitación. No las dedujo: las extrajo de las observaciones de Marte acumuladas por Tycho Brahe, con una obstinación aritmética que hoy cuesta imaginar. El desajuste que lo obligó a abandonar la circunferencia era de ocho minutos de arco, un error que cualquier astrónomo de la época habría atribuido a la medida.
La lección anterior nos dejó una ecuación diferencial y dos constantes de movimiento. Esta lección hace el camino inverso al histórico: en lugar de adivinar las leyes a partir de datos, las derivamos de r¨+(μ/r3)r=0. Lo que Kepler tardó veinte años en descubrir sale hoy en tres páginas de cálculo vectorial, y ese es exactamente el poder de la teoría.
Primera ley: la órbita es una cónica con el foco en el cuerpo central
Integrando la ecuación del movimiento (multiplicándola vectorialmente por h y reordenando) aparece un tercer vector constante, el vector de excentricidade, que apunta del foco al periapsis y cuyo módulo es la excentricidad. El resultado final es la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares:
r(ν)=1+ecosνp,p=μh2=a(1−e2)
donde ν es la anomalía verdadera, el ángulo medido desde el periapsis en el sentido del movimiento, y p es el semilatus rectum o parámetro focal. Es la ecuación de una cónica genérica: circunferencia, elipse, parábola o hipérbola según el valor de e, tal y como anticipaba la tabla de energías de la lección 1.
Nótese lo que la ley no dice. No dice que el cuerpo central esté en el centro de la elipse: está en uno de los dos focos, y el otro foco está vacío. Ese detalle, obvio hoy, es la ruptura conceptual que costó dos milenios de astronomía circular.
La geometría de la elipse, con nombres y propiedades
Una elipse queda determinada por dos números: el semieje mayora (tamaño) y la excentricidade (forma). De ellos se derivan todos los demás:
Cantidad
Fórmula
Interpretación
Semieje menor
b=a1−e2
Anchura de la elipse
Distancia focal
c=ae
Del centro geométrico a cada foco
Radio de periapsis
rp=a(1−e)
Punto más cercano (ν=0)
Radio de apoapsis
ra=a(1+e)
Punto más lejano (ν=180°)
Parámetro focal
p=a(1−e2)
Radio cuando ν=90°
Excentricidad desde radios
e=ra+rpra−rp
Forma a partir de los extremos
Semieje desde radios
a=2ra+rp
Tamaño a partir de los extremos
Alrededor de la Tierra los prefijos cambian: perigeo y apogeo en lugar de periapsis y apoapsis (alrededor del Sol serían perihelio y afelio). Y una advertencia que causa errores constantes en la práctica: a, rp y ra se miden desde el centro de la Tierra, mientras que las altitudes que aparecen en las noticias se miden desde la superficie. Convertir exige sumar o restar R⊕=6378.137 km, y olvidarlo es el error número uno de quien empieza.
La excentricidad real de las órbitas de trabajo es más pequeña de lo que la intuición sugiere:
Órbita
e
a (km)
Perigeo × apogeo (altitud, km)
ISS
0.0004
6 790
409 × 415
Starlink operativa
0.0002
6 928
549 × 552
GPS (MEO)
0.01
26 562
19 918 × 20 450
GEO nominal
0.0002
42 164
35 786 × 35 786
GTO típica
0.73
24 471
400 × 35 786
Molniya
0.737
26 562
600 × 39 766
Con e=0.0004 la órbita de la ISS es visualmente indistinguible de una circunferencia: su semieje menor difiere del mayor en menos de un metro por kilómetro. La elipse dramática que dibujan los libros de texto corresponde en realidad a la GTO y a la Molniya, no a la mayoría de los satélites operativos.
Segunda ley: áreas iguales en tiempos iguales
La segunda ley de Kepler dice que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. Su demostración es una línea. El área infinitesimal barrida por r al girar dν vale dA=21r2dν, y como h=r2ν˙:
dtdA=21r2ν˙=2h=constante
Es decir: la segunda ley de Kepler es exactamente la conservación del momento angular, escrita en el lenguaje geométrico del siglo XVII. Kepler descubrió una ley de conservación sin saber que lo era.
La consecuencia operativa se lee en los extremos de la órbita, donde r y v son perpendiculares y por tanto h=rv:
rpvp=rava⟹vavp=rpra=1−e1+e
Ejemplo resuelto 1: la Molniya y su apogeo perezoso
Una órbita Molniya tiene a=26562 km y e=0.737. Sus radios extremos:
rp=26562(1−0.737)=6986km(≈608kmdealtitud)
ra=26562(1+0.737)=46138km(≈39760kmdealtitud)
Con la vis-viva de la lección 1, vp=9.96 km/s y va=1.51 km/s. El cociente vp/va=6.60 coincide con ra/rp=46138/6986=6.60, como exige la segunda ley. Traducido a operación: el satélite despacha el perigeo en minutos y se queda más de ocho horas de cada doce flotando cerca del apogeo, visible desde latitudes altas. Rusia construyó todo un sistema de comunicaciones sobre esa asimetría, porque desde Moscú un satélite geoestacionario apenas se levanta del horizonte. Volveremos sobre ello en la lección 4.
Tercera ley: el periodo solo depende del semieje mayor
Integrando la segunda ley sobre una revolución completa —área de la elipse πab dividida por la tasa constante h/2— y sustituyendo h=μa(1−e2), se obtiene la joya de la corona:
T=2πμa3⟺a=(μ(2πT)2)1/3
Kepler la enunció como T2∝a3 sin la constante, porque no disponía de μ. La forma moderna es más útil porque es cuantitativa: dado un semieje mayor, el periodo queda determinado; dado un periodo, el semieje mayor queda determinado. No hay margen. Y obsérvese la ausencia de e: una elipse muy alargada y una circunferencia con el mismo a tardan exactamente lo mismo en dar una vuelta. Es la misma independencia que ya vimos en ε=−μ/2a; de hecho es la misma afirmación en otro idioma.
La cantidad recíproca, el movimiento medion=2π/T=μ/a3, es la velocidad angular promedio. Cuando en la lección 7 abras un TLE, el campo más importante de la segunda línea será precisamente n expresado en revoluciones por día: el formato prefiere transmitir el periodo antes que el semieje mayor.
Ejemplo resuelto 2: el periodo de la ISS
La Estación Espacial Internacional orbita con a≈6790 km. Entonces:
Es decir 92.8 minutos, o n=86400/5568.6=15.52 revoluciones por día. Cualquier persona que haya seguido un pase de la ISS reconoce el número: la estación vuelve a aparecer poco más de una hora y media después. Y si la ISS baja 10 km por arrastre, el periodo cae unos 12 segundos y el movimiento medio sube: esa deriva medible es la firma que en la lección 5 identificaremos como decaimiento atmosférico.
Ejemplo resuelto 3: de dónde sale exactamente el radio geoestacionario
Este es el cálculo de diseño más citado de la ingeniería espacial, y casi siempre se hace mal por un motivo sutil. Un satélite geoestacionario debe permanecer sobre el mismo punto del ecuador, luego su periodo debe igualar el de rotación de la Tierra respecto a las estrellas, no respecto al Sol: el día sidéreo, de 23 h 56 min 4.09 s =86164.09 s. Usar 24 h desplaza el resultado en unos 100 km, suficiente para que el satélite derive de su ranura.
Restando el radio ecuatorial: 42164−6378=35786 km de altitud. Los cuatro minutos de diferencia entre día solar y día sidéreo no son un tecnicismo pedante; son la razón de que el número sea 42 164 y no 42 241. Comprueba de paso la velocidad orbital: v=398600.4418/42164=3.075 km/s, menos de la mitad que en LEO.
Órbita
a (km)
T
v circular (km/s)
Altura 300 km
6 678
90.5 min
7.726
ISS (409 × 415 km)
6 790
92.8 min
7.663
Starlink (550 km)
6 928
95.6 min
7.585
SSO (800 km)
7 178
100.9 min
7.452
GPS / Molniya (semisíncrona)
26 562
11 h 58 min
3.874
GEO
42 164
23 h 56 min
3.075
Luna
384 400
27.32 días
1.022
La última fila merece una pausa: la misma fórmula que da 92.8 minutos para la ISS da 27.3 días para la Luna, sin cambiar una sola constante. Esa universalidad es lo que Newton demostró y Kepler solo intuyó.
Laboratorio
El simulador de esta lección dibuja una órbita kepleriana con a y e ajustables y anima el movimiento del satélite en tiempo comprimido. Sobre el trazo verás marcados el foco ocupado por la Tierra, el foco vacío, el centro geométrico, los ejes y los puntos de perigeo y apogeo, con sus radios y velocidades actualizados. Un panel numérico muestra b, c, p, rp, ra, T y n recalculados a cada cambio.
La herramienta central es el barrido de áreas: el simulador colorea el sector barrido en intervalos de tiempo iguales, de modo que los sectores anchos y cortos del perigeo y los estrechos y largos del apogeo aparecen simultáneamente en pantalla. Comprueba visualmente que todos tienen la misma superficie; después activa la lectura de dA/dt y verifica que el valor no se mueve del h/2 teórico ni cuando la excentricidad es extrema.
Observa también qué no cambia. Al mover la excentricidad manteniendo a fijo, la elipse se deforma pero el cronómetro del periodo permanece congelado: es la tercera ley, y verla en movimiento convence mucho más que la fórmula. Fíjate además en cómo la posición del foco vacío se aleja del centro conforme crece e, y en que la Tierra nunca se mueve.
Tres retos concretos:
Reconstruye la GEO desde el periodo. Ajusta a hasta que el periodo marque 23 h 56 min y comprueba que obtienes a=42164 km. Después pon el periodo en 24 h exactas y mide la diferencia de semieje mayor: ese es el error de usar el día solar en lugar del sidéreo.
Diseña una Molniya. Con perigeo de 600 km de altitud, busca la excentricidad que da un periodo de 11 h 58 min y verifica que el apogeo cae cerca de 39 800 km. Cronometra qué fracción del periodo transcurre por encima de la mitad del apogeo: debería superar el 60 %.
Falsifica la intuición. Fija a=10000 km y prueba e=0, e=0.4 y e=0.8. Anota T, vp y va en cada caso y explica con la segunda y la tercera ley por qué solo una de esas tres cantidades permanece constante.
1 de 7
Verifica la lectura correcta de la tercera ley:
Un operador reduce la excentricidad de un satélite de e=0.3 a e=0.05 manteniendo el semieje mayor. ¿Qué le ocurre al periodo orbital?
Ya sabemos qué forma tiene la órbita y cuánto tarda en recorrerse. Falta lo esencial para apuntar una antena: dónde está ese plano en el espacio y dónde está el satélite dentro de él. Eso son los seis elementos orbitales de la lección 3.
Laboratorio: Órbita de Kepler · Geometría y barrido de áreas
8. Del TLE al pase: la geometría de la visibilidad