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Una antena es un manipulador con dos articulaciones
Hasta aquí hemos tratado la montura como una caja que obedece: le mandas (Az,El) y aparece ahí. Es hora de abrir la caja. Una montura Az/El es, formalmente, un manipulador robótico de 2 grados de libertad (GDL) con dos articulaciones de revolución en cascada: la primera gira alrededor del eje vertical local, la segunda alrededor de un eje horizontal solidario a la primera. Tiene inercia, fricción, holguras, motores con par limitado y sensores con ruido. Todo eso determina qué tan bien puede seguir la referencia que le calculamos en las lecciones anteriores.
El modelo dinámico
Aplicando la formulación de Euler-Lagrange a los dos eslabones se obtiene un sistema de la forma M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+bq˙+g(q)=τ, con q=[Az,El]T. En la práctica, y a las velocidades de una estación terrena, ese modelo se simplifica muchísimo con tres observaciones honestas:
Los términos de Coriolis y centrífugos (C) crecen con el producto de velocidades. A menos de 10∘/s son de segundo orden y se tratan como perturbación.
El término gravitatorio (g) actúa solo sobre el eje de elevación y vale mgℓcos(El) si el reflector no está balanceado. Con un contrapeso bien ajustado se anula, que es exactamente por lo que se instala.
El acoplamiento residual es la dependencia de la inercia de acimut con la elevación: el momento de inercia del conjunto respecto al eje vertical cambia según hacia dónde apunte el plato, típicamente entre un valor máximo con la antena horizontal y uno mínimo con la antena vertical.
Lo que queda, eje a eje, es el modelo de segundo orden más simple que existe:
Jθ¨+bθ˙=τ
donde J es la inercia reflejada al eje (en kg⋅m2), b el coeficiente de fricción viscosa (en N⋅m⋅s/rad), τ el par aplicado y θ la posición angular. Tomando la transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas:
G(s)=τ(s)θ(s)=Js2+bs1=s(Js+b)1
Dos polos: uno en el origen (la planta es un integrador, porque un par constante produce velocidad constante y posición creciente) y otro en s=−b/J. El cociente J/b es la constante de tiempo mecánica: con J=2kg⋅m2 y b=0.5N⋅m⋅s/rad vale 4 segundos. Una montura así, empujada y soltada, tarda una eternidad en detenerse: es poco amortiguada por naturaleza y por eso, como verás en la lección 6, casi siempre necesita acción derivativa.
Ejemplo resuelto: el par que hace falta
¿Cuánto par exige acelerar el eje de acimut a α=5∘/s2 con J=2kg⋅m2 y b=0.5? Primero, unidades coherentes: el modelo está en radianes.
α=5∘/s2×180π=0.0873rad/s2
τinercial=Jα=2⋅0.0873=0.175N⋅m
Si además el eje ya se mueve a 1∘/s=0.0175 rad/s, hay que vencer la fricción viscosa:
τfriccioˊn=bθ˙=0.5⋅0.0175=0.0087N⋅m
El par total es 0.175+0.009=0.184N⋅m. Parece ridículamente poco, y lo es: ese es el par en el eje de carga. Entre el motor y el eje hay un reductor con relación N y rendimiento η; con N=1000 y η=0.7, el motor solo tiene que entregar 0.184/(1000⋅0.7)=0.26 mN·m. A cambio, el reductor multiplica por N2 la inercia del rotor del motor vista desde la carga y divide por N la velocidad disponible. Ese es el compromiso central del diseño mecánico: par barato, velocidad cara — justo la variable que el keyhole de la lección 3 pone contra las cuerdas.
Backlash: el enemigo silencioso
El backlash (juego o holgura) es el ángulo muerto que el eje de entrada del reductor puede recorrer sin que el de salida se mueva, por el hueco entre flancos de diente. En un tornillo sin fin típico va de 0.05∘ a 0.5∘; en trenes de engranes rectos de bajo costo puede ser peor. Con un presupuesto total de 0.1∘, un backlash de 0.3∘ se come el requisito por completo antes de que el controlador haya hecho nada.
Su efecto no es solo un error estático: es una no linealidad discontinua que rompe la hipótesis de linealidad del modelo. Cada vez que el eje invierte el sentido de giro (algo que ocurre en cada culminación de pase), el lazo pierde autoridad de control durante el cruce de la zona muerta y aparecen ciclos límite: oscilaciones sostenidas de pequeña amplitud que ningún ajuste de ganancias elimina. Las mitigaciones son mecánicas o de instrumentación: engranes con precarga, configuraciones antibacklash de doble motor con par opuesto, o — la más efectiva — colocar el encoder en el eje de carga en lugar de en el motor, para que el lazo mida lo que realmente importa: dónde apunta la antena, no dónde cree el motor que la dejó.
Por qué linealizar, y por qué modelar antes de controlar
Linealizar alrededor de un punto de operación no es pereza matemática: es lo que habilita todo el arsenal de la teoría de control lineal — función de transferencia, lugar de las raíces, márgenes de ganancia y fase, diseño LQR — que aplicaremos en las dos lecciones siguientes. La condición para que sea legítimo es que las excursiones alrededor del punto de operación sean pequeñas, y en seguimiento de satélites lo son: el error que queremos regular es de décimas de grado sobre una trayectoria que varía suavemente. La linealización deja de valer precisamente donde el sistema satura o cruza el backlash, y por eso esos dos casos se estudian aparte.
Esta es la razón de ser de un gemelo digital. El gemelo ATP-DT del clúster CO.DE Aerospace mantiene un modelo dinámico identificado de la montura — inercias, fricción, límites de par, holgura medida — contra el que se sintonizan los controladores y se corren campañas Monte Carlo antes de tocar hardware real. Sintonizar ganancias directamente sobre una estructura de media tonelada es caro, lento y, con un actuador que puede saturar, peligroso.
Este es el lazo completo que cerraremos en la lección 6:
Fija los conceptos del modelo:
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Con el modelo de la planta en la mano, ya podemos diseñar quien la gobierne: la siguiente lección construye el controlador PID que mantiene el error de seguimiento por debajo del presupuesto durante todo el pase.