CO.DE Academy — Aprende tecnología con práctica real

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Del modelo al lazo cerrado

En la lección anterior obtuviste el modelo de la montura: un eje con inercia $J$ y fricción viscosa $b$ cuya función de transferencia es $P(s) = 1/(Js^2 + bs)$ . Ese modelo describe cómo responde la antena cuando alguien le aplica un par, pero no dice nada sobre quién decide ese par. Esa decisión es el trabajo del controlador, y el controlador más usado en el segmento terreno — desde un rotor de radioaficionado hasta las monturas de estaciones profesionales — sigue siendo el PID (proporcional, integral, derivativo).

El lazo APT (Acquisition, Tracking & Pointing) que dibujamos en la lección 1 se concreta así: el propagador SGP4 entrega la referencia $\theta_{ref}(t)$ (el acimut y la elevación que debería tener la antena en cada instante), el encoder mide la posición real $\theta(t)$ , y el controlador consume el error de seguimiento

$e(t) = \theta_{ref}(t) - \theta(t)$

para producir el par de mando $u(t)$ . Nada más. Todo el arte del apuntamiento está en cómo se convierte ese único número, el error, en una orden de par.

Los tres términos, con intuición mecánica

La ley de control es

$u(t) = k_p\, e(t) + k_i \int_0^t e(\tau)\, d\tau + k_d \frac{de(t)}{dt}$

y cada término tiene un análogo físico directo sobre el plato:

Proporcional ( $k_p$ ): es un resorte virtual que une la antena a su referencia. Cuanto más lejos está de donde debería estar, más fuerte tira. Sube la rigidez del lazo y su ancho de banda, pero por sí solo produce oscilación: un resorte sin amortiguador nunca se detiene.
Derivativo ( $k_d$ ): es un amortiguador virtual, un pistón que se opone a la velocidad del error. Frena antes de llegar, reduce el sobreimpulso y las oscilaciones. Su precio: deriva la señal del encoder, y derivar amplifica el ruido de medición.
Integral ( $k_i$ ): es la memoria del lazo. Acumula el error pasado, así que mientras quede cualquier error persistente el mando sigue creciendo hasta eliminarlo. Es el único término capaz de vencer un sesgo constante — desalineación del cero del encoder, par de viento sostenido, desequilibrio del contrapeso.

Un pase no es un escalón: es una rampa

La mayoría de los cursos de control introducen el PID con una respuesta al escalón. En apuntamiento eso es engañoso: durante un pase la referencia nunca deja de moverse. En elevación sube, alcanza el máximo y baja; en acimut barre continuamente, y cerca del cénit lo hace muy rápido (recuerda el keyhole de la lección 3). La entrada relevante no es un escalón sino una rampa, y ahí aparece un fenómeno que el escalón oculta: el error de arrastre.

La planta $1/(Js^2+bs)$ ya contiene un integrador (la $s$ del denominador), así que con un controlador puramente proporcional el lazo abierto es $L(s) = k_p/\big(s(Js+b)\big)$ : un sistema de tipo 1. Un sistema de tipo 1 sigue un escalón sin error permanente, pero ante una rampa se queda constantemente rezagado. La constante de error de velocidad es $K_v = \lim_{s\to 0} sL(s) = k_p/b$ , y el error en régimen ante una rampa de pendiente $v$ vale

$e_{ss} = \frac{v}{K_v} = \frac{v\, b}{k_p}$

Ejemplo resuelto 1: cuánto rezaga un P puro

Tomemos el eje de elevación de la lección 5: $J = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$ , $b = 0.5\ \mathrm{N\,m\,s/rad}$ , y un control proporcional con $k_p = 10\ \mathrm{N\,m/rad}$ . Como la relación $e_{ss} = vb/k_p$ es lineal, podemos trabajar directamente en grados si expresamos $v$ en grados por segundo.

En la parte tranquila del pase la elevación cambia a $v = 1\ °/\mathrm{s}$ :

$e_{ss} = \frac{1 \times 0.5}{10} = 0.05°$

Medio décimo de grado de retraso permanente: dentro del objetivo de $0.1°$ del curso. Pero en un pase casi cenital el acimut puede exigir $v = 5\ °/\mathrm{s}$ , y entonces

$e_{ss} = \frac{5 \times 0.5}{10} = 0.25°$

dos veces y media por encima del presupuesto. Y esto no es ruido ni una perturbación: es un rezago determinista que el controlador P jamás corregirá, por muy limpio que sea el hardware. Las salidas son dos: subir $k_p$ hasta $k_p = vb/e = 5 \times 0.5/0.1 = 25\ \mathrm{N\,m/rad}$ , o añadir el término integral, que convierte el lazo en tipo 2 y anula el error de arrastre por completo. En la práctica se hacen ambas cosas: $k_p$ alto para la respuesta rápida, $k_i$ para limpiar lo que quede.

Ejemplo resuelto 2: por qué el P puro además oscila

Con control PD la ecuación característica del lazo cerrado es $Js^2 + (b+k_d)s + k_p = 0$ , que comparada con la forma canónica $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2$ da

$\omega_n = \sqrt{\frac{k_p}{J}}, \qquad \zeta = \frac{b + k_d}{2\sqrt{k_p J}}$

Con $k_p = 10$ y $J = 2$ : $\omega_n = \sqrt{5} = 2.24\ \mathrm{rad/s}$ . Si $k_d = 0$ (P puro), $\zeta = 0.5/(2\sqrt{20}) = 0.5/8.94 = 0.056$ . Un amortiguamiento de $0.056$ es prácticamente nulo: el sobreimpulso predicho es $M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 0.84$ , es decir 84 %, y el tiempo de establecimiento al 2 % es $t_s \approx 4/(\zeta\omega_n) = 4/0.125 = 32\ \mathrm{s}$ . Una antena que tarda medio minuto en dejar de bambolearse ha perdido buena parte de un pase de 8 minutos.

Ahora pidamos $\zeta = 0.7$ , el valor clásico de compromiso entre rapidez y sobreimpulso. Despejando $k_d$ :

$k_d = 2\zeta\sqrt{k_p J} - b = 0.7 \times 8.94 - 0.5 = 5.76\ \mathrm{N\,m\,s/rad}$

Con ese $k_d$ el sobreimpulso baja a $M_p \approx 4.6\ \%$ y el tiempo de establecimiento a $t_s \approx 4/(0.7 \times 2.24) = 2.6\ \mathrm{s}$ : doce veces más rápido en asentarse. Fíjate en el detalle importante: el término derivativo no cambió el error de arrastre, que sigue valiendo $vb/k_p$ , porque $K_v$ solo depende de $k_p$ y $b$ . D amortigua; solo I elimina el rezago.

Saturación, windup y anti-windup

Ningún motor entrega par infinito. El mando real es $u_{sat} = \mathrm{sat}(u, \pm u_{max})$ , y esa no linealidad rompe el razonamiento lineal anterior de una forma peligrosa: mientras el actuador está saturado, la antena ya no puede acelerar más, el error no baja, pero el integrador sigue acumulando. Cuando por fin el error cambia de signo, el término integral se ha cargado con un valor enorme y tarda mucho en descargarse, provocando un sobreimpulso grande y tardío. Ese efecto se llama windup.

La defensa estándar, y la que implementa el laboratorio, es el anti-windup por clamping: cuando se detecta que el mando está saturado y el error empujaría el integrador todavía más en la misma dirección, se congela la integración (o se descuenta la diferencia $u - u_{sat}$ ). Es tres líneas de código y suele ser la diferencia entre un lazo que reengancha el satélite tras una ráfaga y otro que se lo pierde.

Sintonización práctica y métricas

Una receta que funciona en monturas reales, y que puedes reproducir en el lab: primero P (sube $k_p$ hasta que la respuesta sea rápida pero visiblemente oscilatoria), después D (sube $k_d$ hasta amortiguar; si empiezas a oír el motor zumbar o el mando se vuelve ruidoso, te pasaste y estás amplificando el ruido del encoder), al final I (poco, lo justo para borrar el rezago; demasiado I devuelve oscilación lenta y windup).

Las tres métricas con las que se acepta o rechaza una sintonización son el error RMS durante todo el pase (el número que importa para el enlace, porque la pérdida por desapuntamiento depende del error cuadrático), el sobreimpulso tras un transitorio y el tiempo de establecimiento. Un detalle de implementación que no se puede olvidar: el lazo es digital, típicamente a 10–50 Hz, así que la derivada se calcula por diferencias y siempre se filtra paso bajo; derivar una señal cuantizada sin filtrar inyecta ruido a plena banda en el motor.

Comprueba si distinguiste bien el papel de cada término:

Durante un pase la referencia de elevación sube a $2\ °/\mathrm{s}$ y la antena queda sistemáticamente $0.1°$ por detrás, sin oscilar. ¿Qué ajuste corrige el problema de raíz?

Y repasa el vocabulario del lazo:

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El laboratorio de esta lección te pone al mando de esa sintonización sobre la planta real del curso: la referencia es el perfil de elevación de un pase completo (subida, pico, bajada), tienes sliders de $k_p$ , $k_i$ y $k_d$ , saturación de par activa y un interruptor de anti-windup. Verás la referencia contra la posición real, la curva de error instantáneo y las lecturas de error RMS y error máximo. El reto: bajar el RMS de todo el pase por debajo de $0.05°$ sin que el mando pase la mayor parte del tiempo saturado.