CO.DE Academy — Aprende tecnología con práctica real

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El límite del PID

El PID de la lección anterior funciona, y funciona bien, pero tiene un techo. Sus tres ganancias se ajustan a mano y por eje, sin ninguna noción explícita de lo que estás optimizando: no le puedes decir "quiero el mínimo error posible sin superar 8 N·m de par". Cuando la montura tiene ejes acoplados, cuando el actuador está cerca de su límite o cuando hay que justificar formalmente ante un cliente por qué esas ganancias y no otras, conviene subir un escalón: el control óptimo, y en particular el LQR (Linear Quadratic Regulator).

La montura en espacio de estados

El primer cambio es de representación. En vez de una función de transferencia, describimos el eje con su vector de estado — las variables mínimas que resumen todo su pasado. Para un eje de la montura bastan dos: posición y velocidad angular, $x = [\theta, \omega]^T$ . Reescribiendo $J\ddot\theta + b\dot\theta = u$ como sistema de primer orden:

$\dot{x} = Ax + Bu, \qquad A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -b/J \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/J \end{bmatrix}$

Con los valores del curso ( $J = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$ , $b = 0.5\ \mathrm{N\,m\,s/rad}$ ) queda $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -0.25\end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0.5\end{bmatrix}$ .

Antes de diseñar nada conviene verificar que el eje es controlable, es decir, que existe alguna secuencia de pares capaz de llevarlo de cualquier estado a cualquier otro. La condición es que la matriz $\mathcal{C} = [B \;\; AB]$ tenga rango completo. Aquí $AB = [0.5,\, -0.125]^T$ , así que

$\det \mathcal{C} = \det\begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 0.5 & -0.125\end{bmatrix} = 0 \times (-0.125) - 0.5 \times 0.5 = -0.25 \neq 0$

Rango 2: el eje es controlable, y por tanto puedes colocar sus polos donde quieras con realimentación de estados. Ese es el permiso matemático para todo lo que sigue.

Realimentación de estados y el coste cuadrático

En vez de operar sobre el error escalar, el LQR usa todo el estado:

$u = -Kx = -\big(k_1(\theta - \theta_{ref}) + k_2(\omega - \omega_{ref})\big)$

Si lo miras de cerca, esto se parece mucho a un PD: $k_1$ pesa el error de posición y $k_2$ el error de velocidad. La diferencia no está en la estructura sino en cómo se eligen los números. El LQR los deduce minimizando un funcional de coste explícito:

$J = \int_0^{\infty} \big( x^T Q x + u^T R u \big)\, dt$

La lectura es directa y es lo único que hay que interiorizar: $Q$ penaliza el estado (que la antena se desvíe de donde debe estar y que lo haga rápido) y $R$ penaliza el esfuerzo de control (el par que gastas, el calor en el motor, el desgaste del reductor). Subir $Q$ compra precisión pagando con actuación agresiva; subir $R$ compra suavidad pagando con error. La sintonización deja de ser "toco $k_p$ a ver qué pasa" y pasa a ser una declaración de prioridades de ingeniería.

La ganancia óptima resulta ser $K = R^{-1}B^T P$ , donde $P$ es la solución definida positiva de la ecuación algebraica de Riccati:

$A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$

Nadie la resuelve a mano en producción — cualquier biblioteca de control lo hace en microsegundos, y el laboratorio de esta lección la itera numéricamente en el navegador. Lo que sí conviene es entender qué hace: es la condición que caracteriza el mínimo del coste, el equivalente matricial de igualar a cero la derivada.

Ejemplo resuelto: el efecto de $Q$ y $R$ , con números

Para ver el mecanismo sin resolver matrices, simplifiquemos: normalizamos el mando dividiendo por la inercia ( $u$ pasa a ser aceleración angular comandada) y despreciamos la fricción, que es pequeña. El eje queda como un doble integrador: $A = \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ , $B = [0, 1]^T$ . Tomamos $Q = \mathrm{diag}(q, 0)$ — penalizamos solo el error de posición — y $R = r$ escalar. Sustituyendo en la ecuación de Riccati y resolviendo el sistema de tres ecuaciones que resulta se obtiene una fórmula cerrada muy instructiva:

$k_1 = \sqrt{\frac{q}{r}}, \qquad k_2 = \sqrt{2k_1}$

Con $q = 100$ y $r = 1$ : $k_1 = \sqrt{100} = 10$ y $k_2 = \sqrt{20} = 4.47$ . El lazo cerrado tiene ecuación característica $s^2 + k_2 s + k_1 = 0$ , es decir $\omega_n = \sqrt{k_1} = 3.16\ \mathrm{rad/s}$ y $\zeta = k_2/(2\omega_n) = 4.47/6.32 = 0.707$ . Su tiempo de establecimiento al 2 % es $t_s \approx 4/(\zeta\omega_n) = 4/2.24 = 1.8\ \mathrm{s}$ .

Ahora encarezcamos el esfuerzo cien veces, $r = 100$ con el mismo $q$ : $k_1 = \sqrt{1} = 1$ , $k_2 = \sqrt{2} = 1.41$ , $\omega_n = 1\ \mathrm{rad/s}$ , $t_s \approx 5.7\ \mathrm{s}$ . El lazo se volvió $3.16$ veces más lento, exactamente $\sqrt[4]{100}$ , porque $\omega_n = (q/r)^{1/4}$ .

Y hay un regalo escondido en la fórmula: como $\zeta = \sqrt{2k_1}/(2\sqrt{k_1}) = 1/\sqrt{2} = 0.707$ para cualquier valor de $q$ y $r$ , el LQR sobre un doble integrador entrega siempre el amortiguamiento de libro que en el PID había que buscar a tientas. Eliges cuán rápido quieres el lazo mediante la relación $q/r$ , y la calidad del transitorio te la garantiza el método.

¿Y si no puedes medir todo el estado?

El LQR supone que conoces $x$ completo. En una montura real el encoder da $\theta$ con buena resolución, pero rara vez hay un tacómetro para $\omega$ : derivar la posición funciona, aunque inyecta ruido. La solución formal es añadir un observador (Luenberger, o un filtro de Kalman si el ruido es estocástico) que estima $\hat{x}$ a partir de la medición y del modelo; la combinación de estimador óptimo y control óptimo se llama LQG. Aquí conviene una advertencia honesta que muchos textos omiten: Doyle demostró en 1978 que un lazo LQG no hereda las garantías de robustez del LQR puro.

Robustez: márgenes de ganancia y de fase

Todo lo anterior asume que el modelo es correcto. Nunca lo es: el reductor tiene backlash, la inercia cambia con la elevación del plato, el lazo digital añade retardo. La robustez cuantifica cuánto puede equivocarse el modelo antes de que el lazo se vuelva inestable, y se mide con dos números clásicos sobre la respuesta en frecuencia del lazo abierto:

Margen de ganancia: cuánto puede crecer la ganancia real por encima de la supuesta antes de la inestabilidad. Se busca típicamente $\ge 6\ \mathrm{dB}$ (un factor 2).
Margen de fase: cuánto retardo o desfase adicional tolera el lazo. Se busca típicamente $\ge 45°$ . Es la métrica que se degrada cuando alguien baja la frecuencia de muestreo del lazo o añade un filtro extra "para limpiar el encoder".

La realimentación de estados LQR con $R$ diagonal tiene una propiedad notable: garantiza por construcción margen de ganancia infinito hacia arriba (y hasta un factor $1/2$ hacia abajo) y margen de fase de al menos $60°$ . Es una de las razones por las que el método se usa en aplicaciones donde la robustez debe demostrarse, no solo probarse. Cuando la incertidumbre del modelo se puede acotar explícitamente, el paso siguiente es el diseño $H_\infty$ , que minimiza el peor caso sobre un conjunto de plantas posibles en vez del caso nominal. El gemelo digital ATP-DT (atpsystem.space) del ecosistema CODE mantiene precisamente esa comparación: la misma montura simulada bajo PID, bajo LQR y bajo un diseño robusto, evaluada con las mismas trayectorias de pase.

PID frente a LQR: la comparación honesta

El LQR no es "el PID pero mejor". Necesita un modelo cuantitativo fiable de la planta y acceso al estado completo; si tu modelo de inercia se equivoca por un factor 2, tus ganancias óptimas son óptimas para otra antena. El PID, en cambio, se puede sintonizar en campo sin modelo, cabe en el microcontrolador más barato y cualquier técnico lo entiende. La regla práctica: PID cuando el hardware es sencillo, el modelo es pobre o el mantenimiento lo hará alguien que no diseñó el lazo; LQR (o LQG) cuando existe un gemelo digital validado, hay varios objetivos que equilibrar y el rendimiento debe justificarse formalmente.

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Antes de pasar al laboratorio, verifica la idea central del coste:

Tu montura sigue el pase con buena precisión, pero el motor se calienta y el reductor sufre porque el par oscila cerca del límite. ¿Cómo lo corriges en el diseño LQR?

El laboratorio pone los dos controladores lado a lado sobre la misma planta y la misma trayectoria de pase: a la izquierda tu PID con las ganancias que tú elijas, a la derecha un LQR cuyas $q$ y $r$ recalculan $K$ en vivo resolviendo Riccati. Un botón inyecta una perturbación en escalón — una ráfaga de viento sobre el plato — en ambos paneles a la vez, y las lecturas de error RMS te dejan comparar los dos diseños con el mismo criterio en lugar de con impresiones.