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Cuando en Señales y Sistemas una señal muestreada se escribe como una lista de 1 024 números, cuando en Inteligencia Artificial una imagen de 28×28 píxeles se aplana en 784 valores, cuando en Elasticidad el estado de tensión de un punto se guarda en seis componentes, o cuando en Mecánica Orbital la posición y la velocidad de un satélite forman un estado de seis coordenadas, se está usando el mismo objeto: un vector. No se parecen en nada físicamente, y sin embargo obedecen exactamente las mismas reglas. Este curso trata de esas reglas.
El álgebra lineal tiene fama de abstracta, y la culpa suele ser del orden en que se enseña: primero la definición axiomática, después los cálculos, y la geometría —si acaso— al final. Aquí lo haremos al revés. Cada idea aparecerá primero como algo que se ve, se justificará después con una demostración corta y honesta, y terminará convertida en un procedimiento que se puede programar en veinte líneas.
Qué es un vector, exactamente
Un vector de Rn es una lista ordenada de n números reales. Se escribe en columna, y esa elección tipográfica no es un capricho: hará que el producto matriz-vector de la lección 4 se lea de forma natural.
u=u1u2⋮un,ui∈R
Pero la lista sola no es lo interesante. Lo que convierte a Rn en un espacio vectorial son dos operaciones definidas sobre esas listas:
u+v=u1+v1⋮un+vn,cu=cu1⋮cun
Suma componente a componente y producto por un escalar componente a componente. No hay más operaciones básicas en todo el curso. Multiplicar dos vectores entre sí no es una operación de espacio vectorial: cuando en la lección 3 aparezca el producto punto, será una estructura añadida, no parte de la definición.
Los ocho axiomas, y por qué importan
Un conjunto con esas dos operaciones es un espacio vectorial si cumple ocho propiedades. Ninguna sorprende, y esa es justamente la gracia:
#
Axioma
Enunciado
1
Conmutativa
u+v=v+u
2
Asociativa
(u+v)+w=u+(v+w)
3
Elemento neutro
existe 0 con u+0=u
4
Opuesto
existe −u con u+(−u)=0
5
Distributiva sobre vectores
c(u+v)=cu+cv
6
Distributiva sobre escalares
(c+d)u=cu+du
7
Compatibilidad
c(du)=(cd)u
8
Unidad
1u=u
La razón de enumerarlos no es la pedantería: es que cualquier conjunto que los cumpla hereda automáticamente todos los teoremas del curso. Los polinomios de grado ≤3 los cumplen. Las funciones continuas en [0,1] los cumplen. Las matrices 3×3 los cumplen. Las señales de audio los cumplen. Por eso el mismo teorema sirve para comprimir una imagen y para resolver una ecuación diferencial.
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Geometría de las dos operaciones
En R2 y R3 se puede dibujar, y conviene hacerlo aunque sepamos que la definición no depende del dibujo.
Escalar un vector por c lo estira si ∣c∣>1, lo encoge si ∣c∣<1 y lo da la vuelta si c<0. La dirección se conserva (o se invierte), nunca gira. El conjunto de todos los múltiplos de un vector no nulo es una recta que pasa por el origen: la primera aparición de lo que en la lección 2 llamaremos subespacio.
Sumar dos vectores es ponerlos punta con cola. El resultado es la diagonal del paralelogramo que forman, y de ahí el nombre clásico de regla del paralelogramo. La conmutatividad, dibujada, es la observación de que se llega al mismo punto recorriendo el paralelogramo por arriba o por abajo.
La combinación lineal
Encadenando ambas operaciones se obtiene la única expresión que aparecerá en las doce lecciones:
w=c1v1+c2v2+⋯+ckvk
Todo lo demás son preguntas sobre esta fórmula. ¿Qué vectores se pueden escribir así? es el espacio generado (lección 2). ¿De cuántas formas? es la independencia lineal (lección 2). ¿Y si escribo la lista de coeficientes como incógnita? es un sistema de ecuaciones (lección 6). ¿Y si además exijo que el resultado se parezca lo más posible a un objetivo? son los mínimos cuadrados (lección 9).
Ejemplo resuelto 1: mezclar dos vectores
Con u=(3,1) y v=(−1,2), calculemos w=2u−21v:
2u=[62],−21v=[0.5−1],w=[6.51]
Fíjate en el orden de las operaciones: primero se escala, después se suma. Es la definición, y también el algoritmo: dos multiplicaciones y una suma por componente.
Ejemplo resuelto 2: un vector que no es una flecha
Una mezcla de audio es una combinación lineal. Si s1 y s2 son dos pistas muestreadas a 48 kHz durante un segundo —dos vectores de R48000—, la mezcla al 70 %/30 % es
m=0.7s1+0.3s2
y esa es literalmente la operación que ejecuta una mesa de mezclas. Nadie dibuja aquí flechas en R48000, y aun así todos los teoremas del curso se aplican palabra por palabra. Es un buen antídoto contra la idea de que el álgebra lineal «va de flechas».
Norma, distancia y vectores unitarios
La longitud de un vector es su norma euclídea, que no es más que Pitágoras en n dimensiones:
∥u∥=u12+u22+⋯+un2
De ella salen la distancia entre dos vectores, d(u,v)=∥u−v∥, y la normalización: dividir un vector no nulo por su norma produce un vector unitario que conserva la dirección y descarta la magnitud.
Ejemplo resuelto 3: normalizar
Para u=(3,1): ∥u∥=9+1=10=3.1623, y el unitario es
u^=3.16231[31]=[0.94870.3162],∥u^∥=1
La norma cumple tres propiedades que la definen como tal: es no negativa y solo se anula en 0; es homogénea, ∥cu∥=∣c∣∥u∥; y satisface la desigualdad triangular∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥, que demostraremos en la lección 3 a partir de Cauchy-Schwarz.
La base canónica y qué son «las componentes»
Los vectores e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), … tienen una propiedad que usamos sin darnos cuenta: todo vector es una combinación lineal suya, y de una sola manera.
u=u1e1+u2e2+⋯+unen
Es decir: lo que llamamos «las componentes de u» son en realidad coordenadas respecto de una base concreta, la canónica. Otras bases dan otras coordenadas para el mismo vector, y buena parte del curso consiste en elegir la base adecuada: la de los autovectores (lección 10) hace diagonal a una matriz, la de los vectores singulares (lección 12) ordena la información por importancia.
Comprueba en el laboratorio la consecuencia geométrica: cuando dos vectores del plano no son múltiplos, la retícula de sus combinaciones cubre todo el plano y cada punto se alcanza con un único par de coeficientes. Cuando sí lo son, la retícula colapsa sobre una recta.
Si u y v son vectores no nulos de R2 y uno es múltiplo del otro, ¿qué forma tiene el conjunto de todas sus combinaciones lineales?
Calcularlo tú mismo
Sin bibliotecas: una combinación lineal en Python puro son tres líneas. Ejecútalo y cambia los coeficientes.
Playground · python
Lo que este modelo deja fuera
Conviene declarar de entrada las limitaciones, porque las lecciones siguientes irán levantándolas o precisándolas:
No hay «multiplicación de vectores». La estructura de espacio vectorial no la incluye. El producto punto (lección 3) añade geometría; el producto vectorial solo existe en R3 y no lo necesitaremos salvo como herramienta puntual.
No hay puntos, solo vectores. Todo sale del origen. La geometría de rectas y planos que no pasan por el origen es geometría afín, y aparecerá en la lección 6 como «solución particular más espacio nulo».
La norma euclídea no es la única. Existen ∥⋅∥1 y ∥⋅∥∞, y en aprendizaje automático se usan constantemente. Aquí trabajamos con la euclídea porque es la única que proviene de un producto escalar, y por tanto la única con ángulos y ortogonalidad.
El mapa de lo que se construye a partir de aquí:
En la lección 2 respondemos a la pregunta que el laboratorio deja planteada: dado un conjunto de vectores, ¿qué llena exactamente el conjunto de todas sus combinaciones, y cuántos vectores hacen falta de verdad?
Laboratorio: Laboratorio · Combinaciones lineales en el plano