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La lección 1 terminó con una observación: dos vectores del plano que no son múltiplos alcanzan cualquier punto, y cada punto de una sola manera; si son múltiplos, solo alcanzan una recta. Esa observación, formalizada, produce tres conceptos —espacio generado, independencia lineal y base— y un número, la dimensión, que resume todo lo anterior.
Merece la pena decir por adelantado a dónde vamos: en la lección 8 veremos que toda matriz lleva asociados cuatro subespacios, y que casi cualquier pregunta sobre un sistema de ecuaciones —si tiene solución, si es única, cómo de sensible es al ruido— se responde mirando sus dimensiones. Todo eso empieza aquí.
Espacio generado (span)
Dado un conjunto de vectores {v1,…,vk} de Rn, su espacio generado es el conjunto de todas sus combinaciones lineales:
span{v1,…,vk}={c1v1+⋯+ckvk:ci∈R}
No es una lista de vectores: es un objeto geométrico, normalmente infinito. Y no puede tener cualquier forma. Si a y b están en el span, cualquier combinación suya también lo está —basta agrupar coeficientes—, y el vector nulo se obtiene con todos los coeficientes a cero. Es decir, el span siempre cumple:
Contiene el vector 0.
Es cerrado bajo la suma.
Es cerrado bajo el producto por escalares.
Un subconjunto de Rn que cumple esas tres condiciones se llama subespacio vectorial. Por eso el span solo puede ser el origen, una recta por el origen, un plano por el origen, y así hasta Rn entero. Nunca una esfera, nunca una recta desplazada, nunca un trozo acotado.
Prueba rápida de subespacio. ¿Es el conjunto de vectores de R3 con x1+x2+x3=0 un subespacio? Sí: contiene el 0, y si dos vectores suman cero en sus componentes, su suma y sus múltiplos también. ¿Y el de los que cumplen x1+x2+x3=1? No: no contiene el 0. Basta esa comprobación para descartarlo.
Dependencia e independencia lineal
Un conjunto {v1,…,vk} es linealmente dependiente si existe una combinación lineal con coeficientes no todos nulos que da el vector cero:
c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0,con alguˊn ci=0
Y es independiente cuando la única forma de obtener 0 es con todos los coeficientes nulos. Conviene interiorizar la traducción geométrica: si algún ci=0, se puede despejar ese vi en función de los demás, luego ese vector sobra; está dentro del span de los otros y no aporta ninguna dirección nueva.
Tres avisos sobre errores frecuentes:
La dependencia es una propiedad del conjunto, no de las parejas. Con v3=v1+v2, ningún par es proporcional y aun así el trío es dependiente.
Cualquier conjunto que contenga el vector 0 es dependiente: basta darle coeficiente 1 al nulo y 0 al resto.
En Rn, cualquier conjunto de más de n vectores es dependiente. No es intuición: es un recuento de pivotes que quedará demostrado en la lección 6.
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Bases: ni de más ni de menos
Una base de un subespacio V es un conjunto que (a) genera V y (b) es linealmente independiente. Generar sin ser independiente significa llevar equipaje de sobra; ser independiente sin generar significa no llegar a todas partes.
La propiedad que hace útiles a las bases es la unicidad de las coordenadas:
Si {v1,…,vk} es base de V, todo w∈V se escribe como w=c1v1+⋯+ckvkde una única manera.
Demostración. Supón dos escrituras, ∑civi=∑divi. Restando, ∑(ci−di)vi=0. Por independencia, todos los ci−di son cero, luego las dos escrituras coinciden. ■
Tres líneas, y de ellas depende que tenga sentido hablar de «las coordenadas» de un vector, de la matriz de una transformación (lección 4) o de los pesos de un modelo lineal (lección 9).
El teorema de la dimensión
Un subespacio tiene muchas bases —infinitas, de hecho—, pero todas tienen el mismo número de elementos. Ese número es la dimensión. La demostración estándar es el lema del intercambio: si un conjunto de p vectores genera V y otro de q vectores independientes vive en V, entonces q≤p. Aplicándolo dos veces con dos bases se obtiene la igualdad.
Subespacio de R3
Dimensión
Base típica
{0}
0
el conjunto vacío
Recta por el origen
1
un vector director
Plano por el origen
2
dos vectores no paralelos del plano
R3
3
e1,e2,e3
Ejemplo resuelto 1: detectar la dependencia a mano
Sean v1=(2,1,0), v2=(0,2,1) y v3=(2,3,1). ¿Son independientes? Buscamos coeficientes con c1v1+c2v2+c3v3=0, es decir el sistema homogéneo
De la primera, c1=−c3. De la tercera, c2=−c3. Sustituyendo en la segunda: −c3−2c3+3c3=0, que se cumple para cualquierc3. Tomando c3=1: v1+v2=v3, y el trío es dependiente. Su span es el plano generado por v1 y v2: dimensión 2, no 3.
Ejemplo resuelto 2: la misma pregunta, con rango
Colocando los tres vectores como columnas y eliminando (lección 6) se llega a una forma escalonada con dos pivotes. Ese número —el rango— es la dimensión del espacio generado, y las columnas donde aparecen los pivotes forman una base de él. Es el procedimiento que ejecuta el laboratorio en tiempo real mientras mueves las componentes.
Y de paso aparece la identidad que gobierna toda la lección 8:
columnas con pivoterango+columnas libresnulidad=nuˊmero de columnas
En el ejemplo: 2+1=3. La única columna libre corresponde a la relación de dependencia que encontramos a mano.
En R4 tenemos cinco vectores. ¿Qué se puede afirmar con seguridad, sin mirarlos?
Cambiar de base: el mismo vector, otras coordenadas
Si B={b1,b2} es una base de R2, las coordenadas de w en B son el par (c1,c2) tal que w=c1b1+c2b2. Escribiendo B como matriz de columnas, eso es exactamente resolver Bc=w, y si B es base la solución existe y es única.
Este juego de coordenadas es el motor de las lecciones finales: la base de autovectores (lección 10) convierte una matriz en diagonal, la base ortonormal del teorema espectral (lección 11) elimina los términos cruzados de una forma cuadrática, y la base de vectores singulares (lección 12) ordena la información de una matriz por relevancia. Elegir la base correcta es la mitad del trabajo.
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Lo que este modelo deja fuera
Todo lo anterior es exacto en aritmética real. En coma flotante hay una zona gris: unos vectores casi dependientes se declararán independientes o dependientes según la tolerancia que se fije, y el resultado puede cambiar con el orden de las operaciones. Por eso el laboratorio considera cero cualquier magnitud por debajo de 10−10, y por eso en la lección 12 sustituiremos «rango» por rango numérico: contar los valores singulares que superan el nivel de ruido, que es la única definición utilizable con datos medidos.
En la lección 3 añadimos a estas dos operaciones una tercera estructura —el producto punto— que trae consigo ángulos, longitudes comparables y, sobre todo, la ortogonalidad: la herramienta con la que en la lección 9 resolveremos problemas que no tienen solución exacta.
Laboratorio: Laboratorio · Espacio generado y dependencia en el espacio