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La lección 4 mostró que una matriz mueve el espacio entero. La pregunta natural es: ¿cuánto lo deforma? El determinante responde con un solo número: el factor por el que se multiplican las áreas (en R2), los volúmenes (en R3) o el volumen n-dimensional en general, más un signo que indica si el espacio se ha dado la vuelta.
Casi todo el mundo aprende primero la fórmula ad−bc y nunca llega a saber de dónde sale. Vamos a hacerlo al revés: exigiremos tres propiedades razonables y veremos que determinan la fórmula por completo.
Tres axiomas, una única función
Queremos una función det que asigne a cada matriz cuadrada un número, interpretable como «volumen orientado del paralelepípedo que forman sus columnas». Le pedimos:
Normalización: detI=1. El cubo unidad tiene volumen 1.
Alternancia: intercambiar dos columnas cambia el signo. (De aquí sale que dos columnas iguales dan determinante 0: intercambiarlas no cambia la matriz pero sí el signo, luego el valor es su propio opuesto.)
Multilinealidad: es lineal en cada columna por separado, con las demás fijas.
Se demuestra que existe una y solo una función con esas tres propiedades, para cada tamaño n. La fórmula ad−bc, la regla de Sarrus y el desarrollo por cofactores son consecuencias, no puntos de partida.
det[acbd]=ad−bc
Comprobación con los axiomas. Escribe la primera columna como ae1+ce2 y la segunda como be1+de2. Por multilinealidad se abre en cuatro términos; los que repiten columna se anulan por alternancia, y quedan addet[e1∣e2]+cbdet[e2∣e1]=ad−cb. ■
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Las propiedades que de verdad se usan
Propiedad
Enunciado
Para qué sirve
Cizalla
det[…cj+kci…]=det[…cj…]
calcularlo por eliminación
Intercambio
cambia de signo
llevar la cuenta del pivoteo
Escalado de una fila
multiplica el determinante por k
normalizar pivotes
Triangular
det=∏iaii
el paso final del cálculo
Transpuesta
detAT=detA
todo vale igual por filas
Producto
det(AB)=detAdetB
componer transformaciones
Singularidad
detA=0⟺A no invertible
el criterio de la lección 7
La invariancia por cizalla es la más útil y la más visual. Al hacer c2←c2+kc1 el paralelogramo se desliza sobre la misma base y con la misma altura: base por altura no cambia. Algebraicamente sale de la multilinealidad más el hecho de que un determinante con dos columnas iguales vale cero:
Existen tres métodos, y su coste no se parece en nada:
Método
Coste para n×n
Cuándo usarlo
Definición por permutaciones
n!⋅n
nunca (para n=20 son 1019 operaciones)
Desarrollo por cofactores
∼n!
a mano hasta 3×3, o con muchos ceros
Eliminación a triangular
∼n3/3
siempre, en cualquier programa
El método real es el tercero: se elimina hasta obtener una matriz triangular —usando cizallas, que no cambian el determinante— y se multiplica la diagonal, cambiando el signo una vez por cada intercambio de filas. Es exactamente la factorización LU de la lección 7:
detA=(−1)#intercambios∏iuii
Ejemplo resuelto 1: por cofactores y por eliminación
Sea A=2−3−21−11−122. Por cofactores en la primera fila:
Por eliminación: F2←F2+1.5F1 y F3←F3+F1 dan una matriz con pivotes 2, 0.5 y −1; su producto es −1, y como no hubo intercambios el signo se mantiene. Mismo resultado, coste muy inferior en cuanto crece n.
Ejemplo resuelto 2: qué mide el signo
La reflexión [100−1] tiene determinante −1: conserva las áreas pero invierte la orientación. Una rotación tiene determinante +1: ni deforma ni invierte. Y [2412] tiene determinante 0: sus columnas son proporcionales, el paralelogramo se aplasta y todo el plano acaba sobre una recta.
Ese último caso es el importante: determinante cero significa pérdida irreversible de información. Una dirección entera se aniquila, y ninguna transformación puede recuperarla. Es la caracterización geométrica de «no invertible», y volverá en la lección 7 como criterio y en la lección 8 como espacio nulo no trivial.
Una matriz 3×3 tiene determinante −6. ¿Qué se puede afirmar?
Dónde aparece fuera del álgebra
Cambio de variable en integrales: el jacobiano —determinante de la matriz de derivadas parciales— es el factor de corrección del elemento de volumen. Es la misma idea, aplicada localmente a una transformación no lineal.
Producto vectorial y áreas: en R3, ∥u×v∥ es el área del paralelogramo, y det[uvw] el volumen del paralelepípedo.
Ecuación característica: det(A−λI)=0 es la puerta de entrada a los autovalores de la lección 10. El determinante aparece ahí precisamente porque anularlo equivale a que la matriz aniquile alguna dirección.
Regla de Cramer: da la solución de un sistema como cociente de determinantes. Es elegante y prácticamente inútil: cuesta O(n!) o O(n4) según la variante frente a los O(n3) de la eliminación, y es numéricamente inestable. Consérvala como resultado teórico, no como algoritmo.
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Lo que este modelo deja fuera
El determinante mide el volumen total, y por eso es un mal indicador de «cómo de cerca está una matriz de ser singular». Una matriz 100×100 con todos los elementos diagonales iguales a 0.1 tiene determinante 10−100 y sin embargo está perfectamente condicionada; otra con determinante 1 puede ser numéricamente desastrosa. La medida correcta de proximidad a la singularidad es el número de condiciónσ1/σn, que llega en la lección 12. Usa el determinante para entender geometría y para demostrar teoremas, no para decidir si un sistema es resoluble en coma flotante.
En la lección 6 usamos por fin toda esta maquinaria para lo que la mayoría considera el problema del álgebra lineal: resolver Ax=b, entender cuándo tiene solución y describir todas las que hay.
Laboratorio: Laboratorio · El determinante como factor de área