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Si una matriz es una función (lección 4), su inversa es la función que la deshace. A−1 existe cuando A es cuadrada y su transformación no pierde información: cuando no aplasta ninguna dirección.
A−1A=AA−1=I
Esa exigencia se puede enunciar de muchas formas equivalentes, y saber que todas dicen lo mismo ahorra mucho trabajo. Para una matriz cuadrada A de tamaño n:
Enunciado
Lección donde aparece
A es invertible
7
detA=0
5
Las columnas son linealmente independientes
2
Las columnas generan Rn
2
El rango es n: hay n pivotes
6
Ax=0 solo tiene la solución trivial
8
Ax=b tiene solución única para todo b
6
Ningún autovalor es cero
10
Ningún valor singular es cero
12
Este cuadro es, en la práctica, el resumen del curso: nueve formulaciones distintas de una misma propiedad, cada una útil en un contexto diferente.
Calcular la inversa: Gauss-Jordan sobre [A∣I]
El método es el de la lección 6 aplicado a n términos independientes a la vez. Se escribe la matriz ampliada [A∣I] y se elimina hasta que la parte izquierda sea la identidad; lo que queda a la derecha es A−1.
[A∣I]⟶[I∣A−1]
Funciona porque cada operación elemental de fila equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz elementalEk. Si la cadena Ep⋯E1A=I, entonces A−1=Ep⋯E1, que es precisamente lo que la mitad derecha va acumulando.
Para 2×2 hay fórmula cerrada, y conviene memorizarla:
[acbd]−1=ad−bc1[d−c−ba]
Fíjate en el denominador: si det=0 la fórmula explota, que es justo lo que debe ocurrir.
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Por qué nadie invierte matrices en producción
Es tentador resolver Ax=b calculando A−1 y multiplicando. En la práctica es un error por tres razones acumulativas:
Coste: invertir cuesta ∼2n3 operaciones; factorizar, ∼2n3/3. Tres veces más caro para el mismo resultado.
Precisión: el producto A−1b acumula más error de redondeo que la sustitución triangular.
Estructura: si A es dispersa —casi todo ceros—, su inversa suele ser densa, mientras que L y U conservan buena parte de la dispersión. En un problema de elementos finitos eso es la diferencia entre caber en memoria y no caber.
La regla, sin excepciones prácticas: factoriza, no inviertas. La inversa es un objeto teórico excelente y un algoritmo mediocre.
La factorización LU
La eliminación de Gauss no tira información: los multiplicadores ℓij=aij/ajj que se usan para hacer ceros son exactamente las entradas de una matriz triangular inferior. Si no hacen falta intercambios de fila:
A=LU,L=1ℓ21ℓ3101ℓ32001
La razón es que deshacer una eliminación es sumar el mismo múltiplo que se restó: la inversa de cada matriz elemental es trivial, y al componerlas todas se obtiene L directamente, sin ningún cálculo extra. Por eso la implementación estándar guarda los multiplicadores en el hueco que dejan los ceros de U, sin memoria adicional. Es lo que muestra el «tablero» del laboratorio.
Cuando un pivote sale nulo —o simplemente muy pequeño— hay que intercambiar filas, y el registro de esos intercambios es una matriz de permutación:
PA=LU
Esta es la factorización que devuelve LAPACK (dgetrf) y la que está detrás de cualquier solve de cualquier biblioteca numérica.
Resolver con LU: dos triangulares
Con la factorización hecha, Ax=b se convierte en dos sistemas triangulares que se resuelven por sustitución directa, sin eliminar nada:
Ly=Pb(hacia delante),Ux=y(hacia atraˊs)
Cada sustitución cuesta ∼n2. La cuenta que justifica todo el método: para k sistemas con la misma matriz,
sin LU: k⋅32n3vscon LU: 32n3+k⋅2n2
Con n=100 y k=12, el ahorro es de casi un factor 9; con k=100, de más de 30. En simulación —donde se resuelve la misma matriz de rigidez en cada paso de tiempo— esa diferencia decide si el cálculo es viable.
Ejemplo resuelto: factorizar a mano
Sea A=24−21−67102 (sin pivoteo, para ver los multiplicadores limpios). Con ℓ21=4/2=2 y ℓ31=−2/2=−1:
F2←F2−2F1,F3←F3+F1⇒2001−881−23
Y con ℓ32=8/(−8)=−1: F3←F3+F2 deja U=2001−801−21. Por tanto
L=12−101−1001,detA=2⋅(−8)⋅1=−16
El determinante sale gratis: es el producto de los pivotes, con el signo de las permutaciones. Comprobar LU=A multiplicando es un ejercicio de dos minutos que conviene hacer una vez en la vida.
Tienes que resolver 50 sistemas que comparten la misma matriz A de tamaño 200×200 y difieren solo en b. ¿Cuál es la estrategia correcta?
Condicionamiento: cuándo desconfiar del resultado
Que una matriz sea invertible sobre el papel no garantiza que resolver con ella sea fiable. El número de condición
κ(A)=∥A∥∥A−1∥=σminσmax
mide cuánto puede amplificar A un error relativo en los datos. Como regla de bolsillo: si κ(A)≈10k, se pueden perder hasta k cifras significativas. Con doble precisión (unas 16 cifras), un κ=1012 deja apenas 4 cifras de confianza.
El ejemplo clásico es la matriz de Hilbert, hij=1/(i+j−1): para n=10 su condición ronda 1013. Es invertible, su determinante no es cero, y aun así resolver con ella en doble precisión da resultados sin sentido. Es la razón de que el determinante no sirva como diagnóstico, y la motivación del rango numérico y de la SVD de la lección 12.
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Lo que este modelo deja fuera
Existen factorizaciones mejores para casos especiales, y usarlas no es un lujo: si A es simétrica y definida positiva (lección 11) la descomposición de CholeskyA=LLT cuesta la mitad y no necesita pivotar; si A es rectangular, LU no aplica y hay que ir a QR (lección 9) o a la SVD (lección 12). El pivoteo parcial que usamos aquí es estable en la práctica pero no en el peor caso teórico; existen matrices patológicas donde falla, y para ellas está el pivoteo completo, más caro y casi nunca necesario.
En la lección 8 dejamos los algoritmos y volvemos a la estructura: los cuatro subespacios que toda matriz lleva consigo y que responden, de una sola vez, a todas las preguntas sobre existencia y unicidad.
Laboratorio: Laboratorio · Factorización LU paso a paso