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Toda matriz A de tamaño m×n define cuatro subespacios: dos en el espacio de partida Rn y dos en el de llegada Rm. Entre los cuatro se reparten todo el espacio, y conocer sus dimensiones responde de golpe a las dos preguntas que importan de un sistema: ¿existe solución? y ¿es única?
Subespacio
Definición
Vive en
Dimensión
Espacio columna Col(A)
todas las combinaciones de las columnas
Rm
r
Espacio nulo Nul(A)
los x con Ax=0
Rn
n−r
Espacio fila Fil(A)=Col(AT)
todas las combinaciones de las filas
Rn
r
Nulo por la izquierda Nul(AT)
los y con ATy=0
Rm
m−r
donde r=rango(A). Este cuadro es el teorema fundamental del álgebra lineal, y merece la pena desmenuzarlo.
Por qué el rango por filas es igual al rango por columnas
Que Fil y Col tengan la misma dimensión no es evidente: viven en espacios distintos y ni siquiera tienen por qué ser del mismo tamaño. La demostración sale de la eliminación: las operaciones de fila no cambian el espacio fila (cada fila nueva es combinación de las viejas y al revés), y tampoco cambian las relaciones de dependencia entre columnas. Al llegar a la forma escalonada, ambas cuentas dan lo mismo: el número de pivotes.
rango(A)=rango(AT)=nuˊmero de pivotes
Un aviso práctico que causa errores constantemente: la eliminación por filas sí cambia el espacio columna. Por eso una base del espacio columna se toma de las columnas pivote de A, no de las de la reducida; y una base del espacio fila sí puede tomarse de las filas no nulas de la reducida.
El teorema del rango-nulidad
rango(A)+dimNul(A)=n
La demostración es contabilidad pura: en la forma escalonada, cada columna es pivote o libre, sin tercera opción. Las pivote aportan al rango; las libres, una dimensión cada una al espacio nulo. Sumadas dan el total de columnas.
Dicho en palabras: lo que la matriz conserva más lo que aniquila es todo lo que entra. Es la ley de conservación del álgebra lineal.
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La parte geométrica: son perpendiculares
Aquí está el resultado bonito. Que x esté en el espacio nulo significa Ax=0, y eso, leído fila a fila, dice que cada fila de A tiene producto punto cero con x. Es decir, x es ortogonal a todas las filas, y por tanto a todo lo que generan:
Nul(A)=Fil(A)⊥,Nul(AT)=Col(A)⊥
La demostración cabe en dos líneas y la consecuencia es enorme: en Rn, el espacio fila y el nulo son complementos ortogonales. Todo vector se parte de forma única en una componente de cada uno,
x=xfila+xnulo,xfila⊥xnulo
y esa descomposición es exactamente la que hace funcionar los mínimos cuadrados (lección 9). Además explica un detalle elegante: A es una biyección entre el espacio fila y el espacio columna. Todo lo que hace la matriz «de verdad» ocurre entre esos dos subespacios de dimensión r; el resto lo aplasta.
Ejemplo resuelto: los cuatro subespacios de una matriz concreta
Sea
A=101213011
La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que el rango es 2.
Espacio columna: generado por las columnas 1 y 2 de A (las que tienen pivote); es un plano en R3.
Espacio nulo: resolviendo Ax=0 queda x1=2x3, x2=−x3, luego está generado por (2,−1,1): una recta, de dimensión 3−2=1.
Espacio fila: generado por (1,2,0) y (0,1,1); otro plano, esta vez en el espacio de entrada. Comprueba que (2,−1,1) es ortogonal a ambos: 2−2+0=0 y 0−1+1=0.
Nulo por la izquierda: los y con ATy=0; sale (1,1,−1), la relación «fila 1 + fila 2 − fila 3 = 0». Es una recta perpendicular al espacio columna.
Ese último vector tiene una lectura práctica muy concreta: dice qué combinación de las ecuaciones debe cumplir el término independiente para que el sistema sea compatible. Si b1+b2−b3=0, no hay solución. El nulo por la izquierda es la lista de condiciones de compatibilidad de los datos.
Una matriz A es 5×3 y tiene rango 3. ¿Qué se puede afirmar?
El diagnóstico completo de un sistema
Con los cuatro subespacios, cualquier pregunta sobre Ax=b se contesta mirando dimensiones:
Pregunta
Respuesta en términos de subespacios
¿Existe solución?
sí, si y solo si b∈Col(A)
¿Es única?
sí, si y solo si Nul(A)={0}
¿Cuántas soluciones?
una variedad afín de dimensión dimNul(A)
¿Qué hago si no hay?
proyectar b sobre Col(A): mínimos cuadrados (lección 9)
¿Cuál elijo si hay muchas?
la de norma mínima, que vive en Fil(A): pseudoinversa (lección 12)
Las dos últimas filas son importantes: los casos «no hay solución» y «hay demasiadas» no son callejones sin salida, sino los dos problemas que resuelven las lecciones finales.
Dónde aparece esto fuera de la teoría
En una matriz de incidencia de un grafo —una fila por arista, con −1 y +1 en los nodos que conecta— los cuatro subespacios tienen nombre propio: el espacio nulo son los potenciales constantes por componente conexa, el nulo por la izquierda son las corrientes de malla (las leyes de Kirchhoff), el espacio fila son las diferencias de potencial y el rango es nodos−componentes. Toda la teoría de circuitos elemental es un caso particular de esta lección, y lo mismo ocurre con las redes de flujo y con las estructuras articuladas de Elasticidad.
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Lo que este modelo deja fuera
Todo lo anterior es exacto en aritmética real y frágil en coma flotante: decidir si un pivote es «cero» es una decisión de tolerancia, y de esa decisión dependen las cuatro dimensiones. Con datos medidos, la forma correcta de estimar el rango no es contar pivotes sino mirar el espectro de valores singulares y ver dónde cae (lección 12). Además, la ortogonalidad entre los subespacios es una propiedad del producto punto euclídeo: con otro producto escalar, los complementos son otros — aunque las dimensiones no cambian.
En la lección 9 explotamos la perpendicularidad: si b no está en el espacio columna, lo proyectamos sobre él. Eso es, exactamente, el método de mínimos cuadrados.
Laboratorio: Laboratorio · Los cuatro subespacios fundamentales