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Hasta aquí una matriz podría parecer una tabla de números con reglas de manipulación arbitrarias. Esta lección deshace esa impresión: una matriz es una función, y cada una de las reglas —incluido el extraño producto fila por columna— es una consecuencia forzosa de esa idea.
Una función T:Rn→Rm es lineal si respeta las dos operaciones del espacio vectorial:
T(u+v)=T(u)+T(v),T(cu)=cT(u)
Ambas condiciones se resumen en una: T(cu+dv)=cT(u)+dT(v). De ahí se deducen tres hechos visibles en el laboratorio:
El origen no se mueve: T(0)=T(0⋅0)=0⋅T(0)=0.
Las rectas van a rectas (o colapsan a un punto), porque la imagen de p+td es T(p)+tT(d).
Las paralelas siguen paralelas y equiespaciadas, por el mismo motivo.
Si al deformar la rejilla algo se curva, si el origen se desplaza o si el espaciado deja de ser uniforme, la función no es lineal. Un desplazamiento T(x)=x+b con b=0 no lo es (mueve el origen); se llama afín, y es la razón de que en gráficos por ordenador se usen coordenadas homogéneas para poder representarlo como una matriz de una dimensión más.
De la linealidad a la matriz
Aquí está el argumento central de la lección, y cabe en tres líneas. Escribe cualquier vector en la base canónica y aplica linealidad:
T(x)=T(x1e1+⋯+xnen)=x1T(e1)+⋯+xnT(en)
Para conocer Tbasta con saber a dónde van los n vectores de la base. Colócalos como columnas y tienes la matriz:
A=[T(e1)T(e2)⋯T(en)],T(x)=Ax
Y con ello, la definición del producto matriz-vector deja de ser un convenio: es la combinación lineal de las columnas de A con los coeficientes de x.
Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnan
Esta es la lectura que hay que memorizar. «Fila por columna» es la receta de cálculo; «combinación de columnas» es el significado. Con ella, Ax=b deja de leerse como «un sistema de ecuaciones» y pasa a leerse como «¿es b una combinación de las columnas de A?» — la pregunta que responderemos en las lecciones 6 y 8.
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Componer es multiplicar
Si B transforma Rp→Rn y A transforma Rn→Rm, la composición x↦A(Bx) es de nuevo lineal, y su matriz es el productoAB:
(AB)ij=∑kaikbkj
Esa fórmula no se postula, se deduce: la columna j de AB es A aplicada a la columna j de B. De ahí salen sus dos propiedades famosas, y las dos son evidentes en cuanto se piensa en funciones:
No es conmutativo: rotar y luego cizallar no da lo mismo que cizallar y luego rotar. Con funciones, f∘g=g∘f es lo normal.
Sí es asociativo: (AB)C=A(BC), porque componer funciones lo es. Ese hecho, aparentemente inocuo, es lo que permite reordenar productos de matrices para ahorrar operaciones.
El coste del producto de dos matrices n×n por la definición es O(n3); el orden en que se agrupa una cadena de productos puede cambiar el coste en órdenes de magnitud, y por eso existen bibliotecas dedicadas solo a eso.
Catálogo geométrico en R2
Conviene tener memorizadas unas pocas matrices, porque casi todo lo demás se construye componiéndolas:
Transformación
Matriz
Efecto
Identidad
[1001]
no mueve nada
Escalado
[s100s2]
estira cada eje
Rotación θ
[cosθsinθ−sinθcosθ]
gira sin deformar
Cizalla
[10k1]
desliza horizontalmente
Reflexión en el eje x
[100−1]
invierte la orientación
Proyección sobre el eje x
[1000]
aplasta el plano en una recta
Ejemplo resuelto 1: deducir una matriz de rotación
Girar θ lleva e1=(1,0) a (cosθ,sinθ) y e2=(0,1) a (−sinθ,cosθ). Poniendo esas imágenes como columnas se obtiene la matriz de la tabla, sin ninguna manipulación trigonométrica adicional. Es el método general: piensa qué le pasa a la base, escribe las columnas.
Comprobación con θ=90∘: la matriz es [01−10], y aplicada a (2,0) da (0,2). Correcto.
Ejemplo resuelto 2: la no conmutatividad, con números
Sea R la rotación de 90∘ y S el escalado [2001].
Distintas. Geométricamente: estirar y luego girar deja el estiramiento en vertical; girar y luego estirar lo deja en horizontal.
Una transformación del plano lleva la rejilla cuadrada a una rejilla de rombos, con el origen fijo y las líneas rectas y equiespaciadas. ¿Qué se puede afirmar?
Matrices que conservan la geometría
Una matriz Q es ortogonal si QTQ=I, es decir, si sus columnas son unitarias y ortogonales entre sí. Estas matrices son especiales porque conservan productos punto —y por tanto normas, ángulos y distancias:
(Qu)T(Qv)=uTQTQv=uTv
Rotaciones y reflexiones son exactamente las matrices ortogonales de R2. Su inversa es su transpuesta —un regalo computacional— y son numéricamente inofensivas: no amplifican errores. Por eso los algoritmos serios (QR en la lección 9, SVD en la 12) se construyen a base de multiplicar por matrices ortogonales.
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Lo que este modelo deja fuera
La matriz de una transformación depende de la base elegida. Todo lo anterior está escrito en la base canónica; en otra base, la misma transformación tiene otra matriz, y ambas están relacionadas por Anueva=S−1AS. Esa relación se llama semejanza y es el eje de la lección 10: diagonalizar es encontrar la base en la que la matriz es lo más simple posible.
Tampoco toda función interesante es lineal: una red neuronal es una alternancia de transformaciones lineales y no linealidades, y si se quitaran las segundas toda la red colapsaría en una única matriz —justamente por la asociatividad del producto—. Ese argumento, que en Inteligencia Artificial justifica la existencia de las funciones de activación, es un teorema de esta lección.
En la lección 5 medimos cuánto deforma una transformación: el determinante, que es el factor por el que se multiplican las áreas y cuyo signo dice si el espacio se ha dado la vuelta.
Laboratorio: Laboratorio · La matriz como transformación del plano