CO.DE Academy — Aprende tecnología con práctica real

CO.DE Academy — Aprende tecnología con práctica real

Buscar lo que no cambia

Una transformación lineal gira, estira y mezcla direcciones. Casi todas. La pregunta de esta lección es si quedan excepciones: direcciones que la matriz respete, limitándose a estirarlas o encogerlas.

$A\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

Un $\mathbf{v}$ así es un autovector y el factor $\lambda$ su autovalor. La restricción $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ es esencial: el vector nulo cumple la ecuación con cualquier $\lambda$ y no dice nada. El autovalor sí puede ser cero, y cuando lo es significa que la matriz aniquila esa dirección: $\lambda = 0$ equivale a espacio nulo no trivial, es decir, a matriz singular.

La ecuación característica

Reescribiendo: $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Esto es un sistema homogéneo, y queremos que tenga solución no trivial. Por la lección 7, eso ocurre exactamente cuando la matriz es singular:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Para una matriz $2\times2$ el desarrollo es inmediato y merece la pena tenerlo memorizado:

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

De donde salen dos identidades que sirven de comprobación instantánea en cualquier cálculo:

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1\lambda_2 = \det A$

y que en tamaño $n$ se generalizan: la traza es la suma de los $n$ autovalores y el determinante su producto.

1 de 6

Diagonalizar: elegir la base correcta

Si $A$ de tamaño $n$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes, ponerlos como columnas de $S$ da

$A = S\Lambda S^{-1}, \qquad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$

La lectura correcta es la de la lección 4: en la base de los autovectores, la transformación es simplemente estirar cada eje por su factor. Todo el aparato de cambio de base sirve para eso.

La consecuencia práctica llega al elevar a potencias, porque los factores $S^{-1}S$ se cancelan en cadena:

$A^k = S\Lambda^k S^{-1}$

Elevar una matriz a la potencia 100 se convierte en elevar $n$ números sueltos. De ahí que los autovalores gobiernen la evolución a largo plazo de cualquier sistema lineal: si todos los $|\lambda_i| < 1$ , $A^k \to 0$ y el sistema es estable; si algún $|\lambda_i| > 1$ , ese modo domina y crece sin límite. Es el criterio de estabilidad que en Señales y Sistemas aparece como «polos dentro del círculo unidad».

Ejemplo resuelto 1: una matriz simétrica

Sea $A = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ . Traza 4, determinante 3, luego $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ y $\lambda = 3, 1$ .

Para $\lambda = 3$ : $(A - 3I)\mathbf{v} = \begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ da $v_1 = v_2$ , luego $\mathbf{v}_1 = (1,1)/\sqrt{2}$ . Para $\lambda = 1$ : $v_1 = -v_2$ , luego $\mathbf{v}_2 = (1,-1)/\sqrt{2}$ .

Obsérvese que salen perpendiculares. No es casualidad: la matriz es simétrica, y ese es el teorema espectral de la lección 11.

Ejemplo resuelto 2: una cadena de Markov

Sea $M = \begin{bmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{bmatrix}$ , con columnas que suman 1: describe cómo se reparte una población entre dos estados cada periodo. Traza $1.5$ , determinante $0.56 - 0.06 = 0.5$ , luego $\lambda^2 - 1.5\lambda + 0.5 = 0$ y $\lambda = 1, 0.5$ .

El autovalor $\lambda = 1$ siempre aparece en una matriz estocástica, y su autovector normalizado a que sume 1 es el estado estacionario: aquí $(0.6, 0.4)$ . El segundo autovalor, $0.5$ , manda la velocidad: cada periodo la desviación respecto del equilibrio se reduce a la mitad. Con $|\lambda_2|$ cercano a 1, el sistema tardaría muchísimo en estabilizarse — exactamente el problema que resuelve el factor de amortiguación de PageRank.

Los dos casos que rompen la receta

Autovalores complejos. Una rotación no deja ninguna dirección real fija, y su discriminante sale negativo. Para $R_{90^\circ} = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ : traza 0, determinante 1, $\lambda = \pm i$ . No es un fallo: los autovalores complejos codifican rotación. Su módulo es el factor de escala y su argumento el ángulo girado por iteración, que es exactamente cómo se leen las oscilaciones de un sistema dinámico.

Matrices defectuosas. La cizalla $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ tiene $\lambda = 1$ doble, pero solo un autovector independiente, $(1,0)$ . No hay base de autovectores y la matriz no es diagonalizable. Lo más cerca que se llega es la forma de Jordan, con un 1 sobre la diagonal. Estos casos son raros entre matrices arbitrarias pero aparecen sistemáticamente en sistemas con amortiguamiento crítico.

Situación	Discriminante	Consecuencia
Dos autovalores reales distintos	$> 0$	diagonalizable, autovectores independientes
Autovalor doble con dos autovectores	$= 0$	diagonalizable (p. ej. $A = cI$ )
Autovalor doble con un solo autovector	$= 0$	defectuosa, no diagonalizable
Par complejo conjugado	$< 0$	rotación con escala; no hay direcciones reales fijas

Una matriz $2\times2$ tiene traza $0.5$ y determinante $-0.5$ . ¿Qué se puede afirmar de su comportamiento al iterar $\mathbf{x} \leftarrow A\mathbf{x}$ ?

El método de la potencia

Calcular autovalores resolviendo el polinomio característico es inviable más allá de $3\times3$ : no hay fórmula cerrada para grado $\ge 5$ y el problema es numéricamente pésimo. El algoritmo más simple que sí funciona es iterar y normalizar:

$\mathbf{x}^{(k+1)} = \frac{A\mathbf{x}^{(k)}}{\lVert A\mathbf{x}^{(k)}\rVert}, \qquad \lambda \approx \mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}$

Por qué converge. Escribe el vector inicial en la base de autovectores, $\mathbf{x}^{(0)} = \sum c_i\mathbf{v}_i$ . Entonces $A^k\mathbf{x}^{(0)} = \sum c_i\lambda_i^k\mathbf{v}_i = \lambda_1^k\left(c_1\mathbf{v}_1 + \sum_{i\ge2} c_i(\lambda_i/\lambda_1)^k\mathbf{v}_i\right)$ . Como $|\lambda_i/\lambda_1| < 1$ , todos los términos salvo el primero se apagan geométricamente. $\blacksquare$

La velocidad de convergencia es exactamente $|\lambda_2/\lambda_1|$ : si los dos autovalores dominantes tienen módulos parecidos, la iteración se arrastra. Este algoritmo, aplicado a la matriz de enlaces de la web, es el PageRank original; los métodos serios de hoy (QR con desplazamientos, Lanczos) son refinamientos de la misma idea.

Playground · python

Lo que este modelo deja fuera

Los autovalores de una matriz no simétrica pueden ser extremadamente sensibles a perturbaciones: cambiar una entrada en $10^{-10}$ puede moverlos en $10^{-3}$ . La medida de esa fragilidad es el condicionamiento del problema de autovalores, distinto del de resolver sistemas. Además, el cociente de Rayleigh $\mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}$ que usa el laboratorio converge al autovalor dominante pero no acota los autovalores como sí lo hace en el caso simétrico. El autovector se normaliza con un signo canónico, así que puede aparecer «al revés» respecto del que calcularías a mano: $\mathbf{v}$ y $-\mathbf{v}$ son el mismo autovector.

En la lección 11 nos restringimos a las matrices simétricas, donde desaparecen las dos patologías de esta lección y aparece el resultado más limpio del curso: el teorema espectral.