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Una hipótesis que lo arregla todo

La lección 10 terminó con dos patologías: autovalores complejos y matrices defectuosas. Añadiendo una sola hipótesis — $A = A^{\mathsf{T}}$ — desaparecen las dos, y a cambio se obtiene el resultado más limpio del álgebra lineal.

No es una restricción exótica: las matrices simétricas están por todas partes. La matriz de covarianza de un conjunto de datos lo es; la hessiana de una función suave lo es; $A^{\mathsf{T}}A$ lo es siempre; el tensor de tensiones de Elasticidad lo es; la matriz de rigidez de una estructura lo es. Cuando aparece simetría, casi siempre viene de un principio físico o estadístico, y trae consigo estas garantías.

El teorema espectral

Si $A$ es real y simétrica, entonces (1) todos sus autovalores son reales, (2) los autovectores de autovalores distintos son ortogonales, y (3) existe una base ortonormal completa de autovectores. En consecuencia $A = Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}$ con $Q^{\mathsf{T}}Q = I$ .

Las dos primeras partes se demuestran en pocas líneas, y merece la pena verlas.

Autovalores reales. Sea $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ con $\mathbf{v}$ posiblemente complejo. Multiplicando por el conjugado traspuesto: $\bar{\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}A\mathbf{v} = \lambda\,\bar{\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}$ . El lado izquierdo es igual a su propio conjugado porque $A$ es real y simétrica, luego es real; y $\bar{\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}\mathbf{v} = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 > 0$ también lo es. Por tanto $\lambda$ es real. $\blacksquare$

Autovectores ortogonales. Sean $A\mathbf{v}_1 = \lambda_1\mathbf{v}_1$ y $A\mathbf{v}_2 = \lambda_2\mathbf{v}_2$ con $\lambda_1 \neq \lambda_2$ . Entonces $\lambda_1(\mathbf{v}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_2) = (A\mathbf{v}_1)^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1^{\mathsf{T}}A\mathbf{v}_2 = \lambda_2(\mathbf{v}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_2)$ , usando la simetría en el paso central. Como $\lambda_1\neq\lambda_2$ , necesariamente $\mathbf{v}_1^{\mathsf{T}}\mathbf{v}_2 = 0$ . $\blacksquare$

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Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una función que asigna a cada vector un número mediante

$q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x} = \sum_{i,j} a_{ij}x_ix_j$

En dos variables, $q(x_1,x_2) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2$ . Siempre se puede suponer $A$ simétrica: la parte antisimétrica no contribuye nada a $q$ , así que cada forma cuadrática tiene una única matriz simétrica asociada.

Sustituyendo $\mathbf{x} = Q\mathbf{y}$ con la $Q$ del teorema espectral, los términos cruzados desaparecen:

$q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^{\mathsf{T}}\Lambda\mathbf{y} = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots$

Eso es exactamente girar el dibujo hasta alinearlo con los ejes de las elipses. Y una vez alineado, la geometría se lee en los signos:

Signos de los autovalores	Clasificación	Curvas de nivel	Punto crítico en el origen
todos $> 0$	definida positiva	elipses	mínimo estricto
todos $< 0$	definida negativa	elipses	máximo estricto
signos mezclados	indefinida	hipérbolas	punto de silla
algún $= 0$ , resto $> 0$	semidefinida positiva	pares de rectas	valle plano

Tres pruebas equivalentes de positividad

Que una matriz simétrica sea definida positiva se puede comprobar de tres maneras, y las tres coinciden siempre:

Autovalores: todos $> 0$ .
Menores principales (criterio de Sylvester): $a_{11} > 0$ , $\det\left[\begin{smallmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{smallmatrix}\right] > 0$ , …, $\det A > 0$ .
Pivotes: todos los pivotes de la eliminación son positivos.

La tercera es la más barata —cuesta lo mismo que una eliminación— y es la que usan las bibliotecas: si Cholesky termina sin encontrar una raíz de número negativo, la matriz es definida positiva; si falla, no lo es. Es un test y una factorización a la vez.

Ejemplo resuelto: clasificar una forma

Sea $q(x_1,x_2) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$ , es decir $A = \begin{bmatrix}3&1\\1&2\end{bmatrix}$ .

Autovalores: traza 5, determinante 5, luego $\lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0$ y $\lambda = (5\pm\sqrt5)/2 = 3.618$ y $1.382$ . Ambos positivos.
Menores: $a_{11} = 3 > 0$ y $\det A = 5 > 0$ . Coincide.
Pivotes: eliminando, $p_1 = 3$ y $p_2 = 2 - 1/3 = 1.667$ . Ambos positivos. Coincide.

Es definida positiva: las curvas de nivel son elipses y el origen es un mínimo estricto. Si ahora subimos $a_{12}$ hasta $2.5$ , el determinante pasa a $6 - 6.25 = -0.25 < 0$ : un autovalor cruza el cero, las elipses se abren en hipérbolas y el mínimo se convierte en un punto de silla. Ese es el experimento del laboratorio.

El cociente de Rayleigh

Sobre vectores unitarios, la forma cuadrática está acotada exactamente por los autovalores extremos:

$\lambda_{\min} \le \frac{\mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}} \le \lambda_{\max}$

y los extremos se alcanzan justo en los autovectores correspondientes. Es fácil de ver: escribiendo $\mathbf{x}$ en la base ortonormal de autovectores, el cociente es una media ponderada de los autovalores con pesos $c_i^2$ que suman 1. Una media nunca sale del rango de los valores promediados.

Este resultado convierte el problema de autovalores en un problema de optimización, y es la base de los métodos variacionales: el estado fundamental en mecánica cuántica, la frecuencia propia más baja de una estructura en Elasticidad, y la primera componente principal de la lección 12 son todos el mismo cálculo: maximizar o minimizar un cociente de Rayleigh.

La matriz hessiana de una función en un punto crítico es $\begin{bmatrix}2&3\\3&1\end{bmatrix}$ . ¿Qué tipo de punto es?

Dónde se usa esto

Optimización: el criterio de la segunda derivada en varias variables es exactamente clasificar la hessiana. Y en el descenso de gradiente que se estudia en Inteligencia Artificial, la relación $\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ decide la velocidad de convergencia: curvas de nivel muy alargadas hacen zigzaguear al algoritmo.
Estadística: la matriz de covarianza es simétrica y semidefinida positiva; sus autovectores son las direcciones de máxima varianza — el PCA de la lección 12.
Mecánica: el tensor de tensiones de Elasticidad es simétrico; sus autovalores son las tensiones principales y sus autovectores las direcciones donde no hay cortante. El círculo de Mohr es este teorema dibujado.
Vibraciones: los modos propios de una estructura son los autovectores de un problema simétrico generalizado, y las frecuencias, las raíces de sus autovalores.

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Lo que este modelo deja fuera

El teorema espectral se enuncia aquí para matrices reales y simétricas. Su versión general vale para matrices normales ( $AA^{\mathsf{T}} = A^{\mathsf{T}}A$ ) sobre los complejos, e incluye a las hermíticas de la mecánica cuántica y a las ortogonales. Para matrices que no son ni simétricas ni normales no hay base ortonormal de autovectores, y la herramienta correcta pasa a ser la SVD — que es, precisamente, la lección 12. En el laboratorio el deslizador del término cruzado mueve a la vez las dos entradas fuera de la diagonal, porque cualquier otra cosa sacaría a la matriz del ámbito del teorema.

La lección 12 quita la última hipótesis. Si la matriz no es simétrica, ni siquiera cuadrada, ¿queda algo del teorema espectral? Queda todo: se llama descomposición en valores singulares.