Con una cuenta desbloqueas el cuestionario, el foro de dudas y el tutor con IA de esta lección, además del registro de progreso y el certificado verificable al terminar «Álgebra Lineal: la geometría detrás de las matrices».
Un sistema de ecuaciones lineales se escribe Ax=b, y admite tres lecturas que conviene tener todas a mano porque cada una resuelve un tipo distinto de duda:
Por filas: cada fila es una ecuación, y en R3 cada ecuación es un plano. Resolver es intersecar planos.
Por columnas: Ax es una combinación lineal de las columnas de A (lección 4). Resolver es preguntar si b está en el espacio generado por las columnas, y con qué coeficientes.
Como transformación: A es una función y buscamos la preimagen de b.
La primera lectura explica la geometría del laboratorio; la segunda explica cuándo hay solución; la tercera conecta con las lecciones 10 y 12. Las tres describen el mismo objeto.
Las tres operaciones elementales
La eliminación de Gauss transforma el sistema en otro más simple con exactamente el mismo conjunto solución. Solo usa tres movimientos, y lo esencial es que los tres son reversibles:
Fi↔Fj,Fi←cFi(c=0),Fi←Fi+cFj
Si una operación es reversible, no se pierde información: cualquier solución del sistema nuevo lo es del viejo y viceversa. Esa es toda la justificación del método, y explica por qué la escena del laboratorio no cambia mientras la matriz sí lo hace.
Forma escalonada y forma escalonada reducida
El objetivo es llegar a una forma escalonada por filas: cada fila no nula empieza más a la derecha que la anterior, y debajo de cada primer elemento no nulo —el pivote— solo hay ceros. Si además cada pivote vale 1 y es el único no nulo de su columna, se tiene la forma escalonada reducida (RREF), que es única para cada matriz.
[A∣b]⟶10001000123−1
Los conceptos que salen de ahí son los mismos de la lección 2, ahora con un procedimiento detrás:
Rangor: número de pivotes. Es la dimensión del espacio generado por las columnas (y también por las filas).
Variables libres: las columnas de incógnitas sin pivote. Su número es n−r.
Contabilidad: nuˊmero de incoˊgnitas=nuˊmero de pivotes+nuˊmero de variables libres.
1 de 6
El teorema de Rouché-Frobenius, dicho con columnas
Un sistema tiene solución si y solo si
rango(A)=rango([A∣b])
La versión con columnas explica por qué: tener solución significa que b es una combinación de las columnas de A, es decir que añadir b como columna extra no aporta ninguna dirección nueva y por tanto no sube el rango. Cuando sí lo sube, la eliminación produce una fila [000∣1] —la contradicción 0=1— y el sistema es incompatible.
Caso
Condición
Geometría en R3
Compatible determinado
r=rampliada=n
los planos se cortan en un punto
Compatible indeterminado
r=rampliada<n
se cortan en una recta o coinciden en un plano
Incompatible
r<rampliada
no hay ningún punto común
La estructura de todas las soluciones
Cuando hay infinitas soluciones, no se enumeran: se describen. Si xp es una solución particular cualquiera y xh resuelve el sistema homogéneo Ax=0, entonces A(xp+xh)=b+0=b. Y al revés: la diferencia de dos soluciones cualesquiera resuelve el homogéneo. Por tanto:
{soluciones}=xp+Nul(A)
Esta es la razón profunda de que el conjunto solución sea siempre un punto, una recta, un plano o un subespacio afín de dimensión mayor, y nunca una curva: es un subespacio (el nulo) desplazado. La misma estructura reaparecerá, palabra por palabra, en la solución general de una ecuación diferencial lineal en Señales y Sistemas.
Eliminando (F2←F2+1.5F1, F3←F3+F1, y después F3←F3−4F2) se llega a una triangular con pivotes 2, 0.5, −1. La sustitución hacia atrás da x3=−1, x2=3, x1=2. Comprobación en la primera ecuación: 2(2)+3−(−1)=8. Correcto.
Como hay tres pivotes y tres incógnitas, la solución es única: los tres planos se cortan en el punto (2,3,−1).
La segunda ecuación es el doble de la primera: no aporta nada. El rango es 2 y hay 3 incógnitas, luego queda una variable libre. La RREF da x1=−x3 y x2=3−2x3+…; ordenando, la solución general es
x=030+t1−21,t∈R
una recta en el espacio: el vector particular más el espacio nulo, que aquí tiene dimensión 1. Si ahora cambiamos el término independiente de la segunda ecuación de 12 a 13, la dependencia entre filas deja de ser compatible, el rango de la ampliada sube a 3 y el sistema se vuelve incompatible: tres planos que se cortan dos a dos formando un prisma, sin ningún punto común. Compruébalo en el laboratorio moviendo b2.
Un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas tiene rango(A)=2 y rango([A∣b])=2. ¿Qué forma tiene su conjunto solución?
Coste, pivoteo y precisión
Llevar una matriz n×n a forma escalonada cuesta del orden de 2n3/3 operaciones en coma flotante; llegar hasta la reducida cuesta n3. Para n=1000 eso son unos 109 flops: menos de un segundo en un portátil. Para n=106, inviable — y ahí empiezan los métodos iterativos, que quedan fuera de este curso.
El pivoteo parcial —elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto de la columna— no cambia el resultado exacto, pero es imprescindible en aritmética finita: evita dividir por números diminutos, que amplifican el error de redondeo. Es lo que hace el laboratorio, y por eso el orden de sus filas puede no coincidir con el que harías tú a mano. La RREF final, en cambio, sí coincide siempre: es única.
Playground · python
Lo que este modelo deja fuera
La eliminación tal como la hemos descrito es exacta sobre los números reales, pero en coma flotante «rango» es una noción frágil: unos datos casi dependientes darán rango 2 o rango 3 según la tolerancia. Con matrices medidas experimentalmente hay que sustituir el conteo de pivotes por el rango numérico de la lección 12. Además, para matrices grandes y dispersas —las del método de elementos finitos que aparece en Elasticidad— la eliminación directa genera relleno: ceros que se vuelven no nulos y disparan la memoria. Ahí se usan reordenaciones y métodos iterativos.
La eliminación resuelve un sistema. En la lección 7 veremos cómo guardarla para no repetirla: la factorización LU, que convierte cada nuevo término independiente en dos sustituciones baratas.
Laboratorio: Laboratorio · Eliminación de Gauss y geometría de los planos